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[答905] 四角形の辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答905] 四角形の辺の長さ


 AB=BC=18,CD=3 の 四角形ABCDの面積が 最大になるとき、 AD=?


[解答1]

 [答96]四角形の面積の最大値( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-268.html )のように、

 4辺の長さが a,b,c,d である四角形の面積 S が最大になるのは、四角形が円に内接するときで、

 このとき 16S2=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d) です。

 AD=x ,四角形ABCDの面積Sが最大のときの 16S2 を f(x) とすれば、

 f(x)=(-18+18+3+x)(18-18+3+x)(18+18-3+x)(18+18+3-x)

  =(x+3)2(x+33)(39-x)=-(x+3)2(x2-6x-1287)

 f'(x)=-{2(x+3)(x2-6x-1287)+(x+3)2(2x-6)}

  =-2(x+3){(x2-6x-1287)+(x+3)(x-3)}=-2(x+3)(2x2-6x-1296)

  =-4(x+3)(x2-3x-648)=-4(x+3)(x+24)(x-27)

 0<x<39 で、0<x<27 のとき f'(x)>0 ,27<x<36 のとき f'(x)<0 だから、

 f(x) は x=27 のとき最大になります。

 よって、四角形ABCDの面積が最大になるのは AD=27 で円に内接するときです。

☆ 16S2=(27+3)2(27+33)(39-27)=302・60・12 、4S=30・12√5 、S=90√5 です。


[解答2]

 四角形ABCDの面積を S,∠ABC=2θ とします。Sが最大になるのは 0<θ≦π/2 のときです。

 ( 内角にπを含めるかどうか異論もあるかと思いますが、一応含めておきます )

 また、θを固定すれば、∠ACD=π/2 のときに △ACDの面積が最大になります。

 このとき、

 S=△ABC+△ACD=(1/2)・18・18・sin2θ+(1/2)・3・(2・18sinθ)=162sin2θ+54sinθ

  =384sinθcosθ+54sinθ=54sinθ(6cosθ+1) です。

 dS/dθ=54{(cosθ)(6cosθ+1)+(sinθ)(-6sinθ)}=54{(cosθ)(6cosθ+1)-6(1-cos2θ)}

  =54(12cos2θ+cosθ-6)=54(3cosθ-2)(4cosθ+3) 、

 0≦cosθ<2/3 のとき dS/dθ<0 ,2/3<cosθ<1 のとき dS/dθ>0 だから、

 cosθ=2/3 のとき S は最大になります。

 このとき、sinθ=(√5)/3 だから、

 AC=2・18sinθ=36・(√5)/3=12√5 となり、AC2=720 、AD=√(720+32)=27 です。

☆ S=54sinθ(6cosθ+1)=54・{(√5)/3}(6・2/3+1)=18(√5)(4+1)=90√5 です。


[解答3]

 A,B,C が決まれば ∠ACD=90゚ のとき 四角形ABCDの面積が最大になり、

 B,C,D が決まれば ∠ABD=90゚ のとき 四角形ABCDの面積が最大になりますので、

 四角形ABCDの面積が最大になるのは、四角形ABCDが円に内接し、ADがその直径になるときです。

 この直径は トレミーの定理でも求められますが、

 四角形ABCDを6個の直角三角形に分け、並べかえて二等辺三角形にできます。

 半径をRとすれば、二等辺三角形の高さは R+3/2 、

 底辺/2 は √{R2-(3/2)2}=√(R2-4/9) 、等辺は 2√(R2-92)=2√(R2-81) だから、

 三平方の定理より (R+3/2)2+R2-9/4=4(R2-81) 、R2+3R+9/4+R2-9/4=4R2-324 、

 2R2-3R-324=0 、(2R-27)(R+12)=0 、AD=2R=27 です。

☆ 二等辺三角形の高さは R+3/2=15 ,底辺の 1/2 は √(R2-9/4)=6√5 だから、

 面積は 15・6√5=90√5 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
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おはようございます
ヤマボウシが見事に咲いていますね
しっとりとした感じが素敵です
ナイス☆彡

樹☆  
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おはようございます。

また雨になりました。
ヤマホウシの十字のお花は美しいと思います。
清々しいです、

我が家では、ドクダミの花を一輪挿しにしてます。

ひとりしずか  
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こちらは実になりはじめています
赤い実がかわいくて、~楽しみ!

ニリンソウ  
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ヤマボウシでいいのかな!
山でも庭でもすでに散ってしまったので。

ナイス

ヤドカリ  
No title


写真は常緑ヤマボウシの花です。
普通のヤマボウシより開花が遅く、
6月下旬でも綺麗に咲いています。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
曇っていました。
あまり天気がいい日だと撮りにくい花もありますね。

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
梅雨時の撮影ですので、しっとりとした感じが出たのでしょうか。
たくさんの花が咲いていました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
九州地方は雨が多いようですね。
ところで、ドクダミの一輪挿し、近づくと香りが良さそうです。
好き嫌いがありそうですが……。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ヤマボウシの実はまだまだだと思いますが、準備はしているのですね。
ところで、東北地方は梅雨入りがないそうですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
上に書きましたように「常緑山法師」という比較的新しいものです。
品種もいくつかあるようです。

ひとりしずか  
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常緑ヤマボウシですか~びっくり!
調べてみたら実の色形は同じですが、下がっているところが違っていました

どうりで・・・〈雨ほとんど降っていないですからね)

今夜から週末は☂マークが並んでいますが・・・

こっこちゃん  
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ヤマボウシ こちらではほとんど散ってます

雨ばかりで 花達可愛そうです ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、再度のコメントをありがとうございます。
常緑ヤマボウシでした。馴染みがないかも知れません。
ところで、東北南部も梅雨入りしたそうですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでもヤマボウシはほとんど散っています。
写真は常緑ヤマボウシで、まだ元気に咲いています。

ひとりしずか  
No title

東北北部は梅雨入りするのかな・・・

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、度々のコメントをありがとうございます。
私に聞かれても……。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
> B,C,D が決まれば ∠ABD=90゚ のとき 四角形ABCDの面積が最大になります
言われてみるとなるほどでした☆
わたしゃ…AC=mと置いて…
複雑な計算のジャングルに迷い込んでしまいましたわ…^^;
PCの力を借りてなんとか脱出できましたけど…Orz~
[解答3]はお洒落ね♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解答3]が想定解ですが、図を使えないと、解答を書きにくいですね。
計算のなるべく少ない解答にしたいです。

ひとりしずか  
No title

そうですよね(笑)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントをありがとうございました。