[答906] 整数解の個数

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[答906] 整数解の個数


　43≦|x|＋|y|＋|z|≦52 を満たす有理整数の組(x，y，z)は何通り？


[解答1]

　|x|＋|y|＋|z|≦n を満たす有理整数の組(x，y，z)が f(n) 通りあるものとします。

　x＝y＝z＝0 のとき 1 通り、

　x≠0 ，y＝z＝0 のとき、|x| の値は n 通り、

　 y≠0 ，z＝x＝0　または　z≠0 ，x＝y＝0 のときも同数、

　yz≠0 ，x＝0 のとき、(|y|，|z|) の組は _nＣ₂＝n(n－1)/2 通り、

　 zx≠0 ，y＝0　または　xy≠0 ，z＝0 のときも同数、

　xyz≠0 のとき、(|x|，|y|，|z|) の組は _nＣ₃＝n(n－1)(n－2)/6 通り、

　よって、

　f(n)＝1＋2･3n＋4･3n(n－1)/2＋8･n(n－1)(n－2)/6

　 ＝1＋6n＋6n²－6n＋(4n³－12n²＋8)/3

　 ＝(4n³＋6n²＋8n＋3)/3＝(2n＋1)(2n²＋2n＋3)/3 です。

　求める答は、f(52)－f(42)＝105･5515/3－85･3615/3＝193025－102425＝90600 です。


[解答2]

　自然数 k に対して、|x|＋|y|≦k を満たす有理整数の組(x，y)が g(k) 通りあるものとします。

　xy平面で領域 |x|＋|y|≦k は (±k，0)，(0，±k) を頂点とする正方形で、面積は 2k² です。

　また |x|＋|y|＝k 上にある格子点は 4k 個、 |x|＋|y|＜k にある格子点は g(k)－4k 個です。

　ピックの定理により、g(k)－4k＋4k/2－1＝2k² 、g(k)＝2k²＋2k＋1 です。

　|x|＋|y|＋|z|≦n を満たす有理整数の組(x，y，z)が f(n) 通りあるものとすれば、

　z＝±n，±(n－1)，……，0 の場合に g(0)，g(1)，……，g(n) 通りだから、

　f(n)＝2｛g(0)＋g(1)＋……＋g(n－1)｝＋g(n)

　 ＝2｛2(n－1)n(2n－1)/6＋2(n－1)n/2＋n｝＋2n²＋2n＋1

　 ＝2｛(2n³－3n²＋n)/3＋n²－n＋n｝＋2n²＋2n＋1

　 ＝(4n³－6n²＋2n)/3＋2n²＋2n²＋2n＋1

　 ＝(4n³＋6n²＋8n＋3)/3＝(2n＋1)(2n²＋2n＋3)/3 です。

　求める答は、f(52)－f(42)＝105･5515/3－85･3615/3＝193025－102425＝90600 です。


[解答3]

　自然数 k に対して、|x|＋|y|＋|z|＝k を満たす有理整数の組(x，y，z)が h(k) 通りあるものとします。

　x≠0 ，y＝z＝0 のとき、x の値は 2 通り、

　 y≠0 ，z＝x＝0　または　z≠0 ，x＝y＝0 のときも同数、

　yz≠0 ，x＝0 のとき、(|y|，|z|) の組は k－1 通り、

　 zx≠0 ，y＝0　または　xy≠0 ，z＝0 のときも同数、

　xyz≠0 のとき、(|x|，|y|，|z|) の組は _k-1Ｃ₂＝(k－1)(k－2)/2 通り、

　よって、h(k)＝2･3＋4･3(k－1)＋8･(k－1)(k－2)/2＝4k²＋2 です。

　求める答は、

　h(43)＋h(44)＋……＋h(52)＝4(43²＋44²＋……＋52²)＋20

　 ＝4(52･53･105/6－42･43･85/6)＋20＝4(48230－25585)＋20＝4･22645＋20＝90600 です。

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