[答906] 整数解の個数
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[答906] 整数解の個数
43≦|x|+|y|+|z|≦52 を満たす有理整数の組(x,y,z)は何通り?
[解答1]
|x|+|y|+|z|≦n を満たす有理整数の組(x,y,z)が f(n) 通りあるものとします。
x=y=z=0 のとき 1 通り、
x≠0 ,y=z=0 のとき、|x| の値は n 通り、
y≠0 ,z=x=0 または z≠0 ,x=y=0 のときも同数、
yz≠0 ,x=0 のとき、(|y|,|z|) の組は nC2=n(n-1)/2 通り、
zx≠0 ,y=0 または xy≠0 ,z=0 のときも同数、
xyz≠0 のとき、(|x|,|y|,|z|) の組は nC3=n(n-1)(n-2)/6 通り、
よって、
f(n)=1+2・3n+4・3n(n-1)/2+8・n(n-1)(n-2)/6
=1+6n+6n2-6n+(4n3-12n2+8)/3
=(4n3+6n2+8n+3)/3=(2n+1)(2n2+2n+3)/3 です。
求める答は、f(52)-f(42)=105・5515/3-85・3615/3=193025-102425=90600 です。
[解答2]
自然数 k に対して、|x|+|y|≦k を満たす有理整数の組(x,y)が g(k) 通りあるものとします。
xy平面で領域 |x|+|y|≦k は (±k,0),(0,±k) を頂点とする正方形で、面積は 2k2 です。
また |x|+|y|=k 上にある格子点は 4k 個、 |x|+|y|<k にある格子点は g(k)-4k 個です。
ピックの定理により、g(k)-4k+4k/2-1=2k2 、g(k)=2k2+2k+1 です。
|x|+|y|+|z|≦n を満たす有理整数の組(x,y,z)が f(n) 通りあるものとすれば、
z=±n,±(n-1),……,0 の場合に g(0),g(1),……,g(n) 通りだから、
f(n)=2{g(0)+g(1)+……+g(n-1)}+g(n)
=2{2(n-1)n(2n-1)/6+2(n-1)n/2+n}+2n2+2n+1
=2{(2n3-3n2+n)/3+n2-n+n}+2n2+2n+1
=(4n3-6n2+2n)/3+2n2+2n2+2n+1
=(4n3+6n2+8n+3)/3=(2n+1)(2n2+2n+3)/3 です。
求める答は、f(52)-f(42)=105・5515/3-85・3615/3=193025-102425=90600 です。
[解答3]
自然数 k に対して、|x|+|y|+|z|=k を満たす有理整数の組(x,y,z)が h(k) 通りあるものとします。
x≠0 ,y=z=0 のとき、x の値は 2 通り、
y≠0 ,z=x=0 または z≠0 ,x=y=0 のときも同数、
yz≠0 ,x=0 のとき、(|y|,|z|) の組は k-1 通り、
zx≠0 ,y=0 または xy≠0 ,z=0 のときも同数、
xyz≠0 のとき、(|x|,|y|,|z|) の組は k-1C2=(k-1)(k-2)/2 通り、
よって、h(k)=2・3+4・3(k-1)+8・(k-1)(k-2)/2=4k2+2 です。
求める答は、
h(43)+h(44)+……+h(52)=4(432+442+……+522)+20
=4(52・53・105/6-42・43・85/6)+20=4(48230-25585)+20=4・22645+20=90600 です。
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