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[答906] 整数解の個数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答906] 整数解の個数


 43≦|x|+|y|+|z|≦52 を満たす有理整数の組(x,y,z)は何通り?


[解答1]

 |x|+|y|+|z|≦n を満たす有理整数の組(x,y,z)が f(n) 通りあるものとします。

 x=y=z=0 のとき 1 通り、

 x≠0 ,y=z=0 のとき、|x| の値は n 通り、

  y≠0 ,z=x=0 または z≠0 ,x=y=0 のときも同数、

 yz≠0 ,x=0 のとき、(|y|,|z|) の組は n2=n(n-1)/2 通り、

  zx≠0 ,y=0 または xy≠0 ,z=0 のときも同数、

 xyz≠0 のとき、(|x|,|y|,|z|) の組は n3=n(n-1)(n-2)/6 通り、

 よって、

 f(n)=1+2・3n+4・3n(n-1)/2+8・n(n-1)(n-2)/6

  =1+6n+6n2-6n+(4n3-12n2+8)/3

  =(4n3+6n2+8n+3)/3=(2n+1)(2n2+2n+3)/3 です。

 求める答は、f(52)-f(42)=105・5515/3-85・3615/3=193025-102425=90600 です。


[解答2]

 自然数 k に対して、|x|+|y|≦k を満たす有理整数の組(x,y)が g(k) 通りあるものとします。

 xy平面で領域 |x|+|y|≦k は (±k,0),(0,±k) を頂点とする正方形で、面積は 2k2 です。

 また |x|+|y|=k 上にある格子点は 4k 個、 |x|+|y|<k にある格子点は g(k)-4k 個です。

 ピックの定理により、g(k)-4k+4k/2-1=2k2 、g(k)=2k2+2k+1 です。

 |x|+|y|+|z|≦n を満たす有理整数の組(x,y,z)が f(n) 通りあるものとすれば、

 z=±n,±(n-1),……,0 の場合に g(0),g(1),……,g(n) 通りだから、

 f(n)=2{g(0)+g(1)+……+g(n-1)}+g(n)

  =2{2(n-1)n(2n-1)/6+2(n-1)n/2+n}+2n2+2n+1

  =2{(2n3-3n2+n)/3+n2-n+n}+2n2+2n+1

  =(4n3-6n2+2n)/3+2n2+2n2+2n+1

  =(4n3+6n2+8n+3)/3=(2n+1)(2n2+2n+3)/3 です。

 求める答は、f(52)-f(42)=105・5515/3-85・3615/3=193025-102425=90600 です。


[解答3]

 自然数 k に対して、|x|+|y|+|z|=k を満たす有理整数の組(x,y,z)が h(k) 通りあるものとします。

 x≠0 ,y=z=0 のとき、x の値は 2 通り、

  y≠0 ,z=x=0 または z≠0 ,x=y=0 のときも同数、

 yz≠0 ,x=0 のとき、(|y|,|z|) の組は k-1 通り、

  zx≠0 ,y=0 または xy≠0 ,z=0 のときも同数、

 xyz≠0 のとき、(|x|,|y|,|z|) の組は k-12=(k-1)(k-2)/2 通り、

 よって、h(k)=2・3+4・3(k-1)+8・(k-1)(k-2)/2=4k2+2 です。

 求める答は、

 h(43)+h(44)+……+h(52)=4(432+442+……+522)+20

  =4(52・53・105/6-42・43・85/6)+20=4(48230-25585)+20=4・22645+20=90600 です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

クチナシの花、先日近所の庭で咲いているのを見かけました
ちょっと肉厚な花びらにみえます

今朝の気温11.5℃でした

たけちゃん  
No title

私は,0の個数で分類し,52のときの値と42のときの値の差をとったので,
ほぼ[解答1]ということになります.
f(n)にあたるものは求めず,0の個数ごとに差を計算しましたが,
本質的な違いはないと思います.

なお,[解答3]で,x≠0,y=z=0のとき,
|x|の値は2通りではなく1通り,xの値が2通りですね.

樹☆  
No title

おはようございます
この花もすてきです。香りもすごく好きです。

今では指輪が回りませぬ。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます!!
真っ白のくちなしの花 綺麗ですね♪
何処からともなくホンノリ香ってくる匂いが良いですネ!!
今此方でも一杯咲いています♪
ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
結果的には、[解答2]もどきでしたが…ピックの定理よぎるも手を出すこともなくカウントしてΣで…^^;
そっか!! [解答3]はスマートねぇ♪

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ヤエクチナシ、今、パソコンから香りが…(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
梔子の花はこちらでは良く見かけますが見頃をを過ぎています。
美しい白い花を選んで撮りました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、早速のコメントをありがとうございます。
また、ミスの指摘も有難うございました。
解き方はいろいろあると思いますが、f(n)を求めておくのが
どんな範囲でも求められるのでそうしました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
梔子の花は香りがいいですね。
♪ くちなしの白い花 おまえのような花だった
白い花がすぐ変色するのですが、樹ちゃんはそんなことないですよね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この時期、梔子の花をよく見かけます。見なくても香りで分かります。
橙色の実をいずれ見るのも楽しみのひとつです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
ピックの定理は使いにくい定理ですが、使えたので使いました。
たまにはこのようなものもいいでしょう。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
パソコンからでも香りが届きそうに感じますね。
実際に香りが届くパソコンがあれば嬉しいこともあると思いますが、
困ったことにもなりかねませんね。(笑)

ニリンソウ  
No title

そうそうミルク色のクチナシが匂い放っていますね。
濃い緑の葉によく似合います。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
梔子の花の香りはいいですね。
葉の濃い緑の中に白い花が際立ちます。