[答907] 軌跡による三角形の分割

[答907] 軌跡による三角形の分割


　AB＝AC＝20，BC＝24 の △ABCがあり、点Dは辺AB上の動点，点Eは辺AC上の動点とします。

　BE，CDの交点をPとして、四角形ADPE と △PBC の面積が等しくなるように点D，E を動かすとき、

　交点Pの軌跡によって △ABCは２つに分かれますが、そのうちの狭い方の面積は？


[解答1]

　BCを底辺とする高さは √(20²－12²)＝√{(20＋12)(20－12)}＝16 です。

　四角形ADPE＝△PBC より 四角形ADPE＋△DBC＝△PBC＋△DBC 、△ABE＝△BCD 、AE＝BD だから、

　A(0，16)，B(－12，0)，C(12，0)，D(－12＋3t，4t)，E(3t，16－4t) (0＜t＜4)とおけば、

　BE：(16－4t)x－(12＋3t)y＝－192＋48t ，CD：4tx＋(24－3t)y＝48t 、

　P(x，y) とすれば、x＝96(t－2)/(t²－4t＋16)，y＝16t(4－t)/(t²－4t＋16) になり、

　t－2＝u とおけば －2＜u＜2 ，x＝96u/(12＋u²)，y＝16(4－u²)/(12＋u²) 、

　y＋16/3＝(32/3)(12－u²)/(12＋u²) 、

　u＝(2√3)tan(θ/2) ，－π/3＜θ＜π/3 とおけて、

　x＝96(2√3)tan(θ/2)/｛12＋12tan²(θ/2)｝＝(8√3)sinθ ，

　y＋16/3＝(32/3)｛12－12tan²(θ/2)｝ /｛12＋12tan²(θ/2)｝＝(32/3)cosθ になり、

　Pの軌跡の下の部分の面積は、

　∫_-12¹² ydx＝∫_-12¹² (y＋16/3)dx － ∫_-12¹² (16/3)dx

　 ＝∫_-π/3^π/3 (32/3)cosθ(8√3)cosθdθ －(16/3)[x]_-12¹²

　 ＝(256/√3)∫₀^π/3 cos²θdθ －(16/3)･24

　 ＝(32/√3)∫₀^π/3 (4＋4cos2θ)dθ －128

　 ＝(32/√3)[4θ＋2sin2θ]₀^π/3 －128

　 ＝(64/√3)(4π/3＋√3)－128＝256π/(3√3)＋64－128＝(256√3)π/9－64＝90．7775457…… です。

　一方、△ABC/2＝24･16/4＝96 だから、辺BC側が狭い方になり、これが求める答です。


☆ BE：(16－4t)x－(12＋3t)y＝－192＋48t ，CD：4tx＋(24－3t)y＝48t を書き換えて、

　　BE：4(4x－3y＋48)＝(4x＋3y＋48)t ，CD：(4x－3y－48)t＝－24y 、

　　辺々乗じて 4t で割ると、(4x－3y＋48)(4x－3y－48)＝－6y(4x＋3y＋48) 、

　　16x²－24xy＋9y²＝－24xy－18y²－288y 、

　　16x²＋27y²＋288y＋768＝768 、16x²＋3(3y＋16)²＝768 、

　　楕円 x²/48＋(y＋16/3)²/(256/9)＝1 の一部です。


[解答2]

　BCを底辺とする高さは √(20²－12²)＝√{(20＋12)(20－12)}＝16 ですが、

　△ABCを正三角形にするために (12√3)/16＝(3√3)/4 倍に縦拡大します。

　四角形ADPE＝△PBC より 四角形ADPE＋△DBC＝△PBC＋△DBC 、△ABE＝△BCD 、AE＝BD 、

　△ABE≡△BCD であり、逆も成り立ちます。

　∠ABE＝∠BCD 、∠ABE＋∠PBC＝∠BCD＋∠PBC 、60ﾟ＝∠BCP＋∠PBC だから、∠BPC＝120ﾟ です。

　よって、Pの軌跡は 円の一部であり、その円の半径は BC/√3＝24/√3＝8√3 で、

　弧BCの中心角は 120ﾟ です。

　よって、弓形BCの面積は π(8√3)²/3－24･(12/√3)/2＝64π－48√3 です。

　元の三角形において、軌跡で分けられる辺BC側の面積は

　(64π－48√3)･4/(3√3)＝(256√3)π/9－64＝90．7775457…… です。

　一方、△ABC/2＝24･16/4＝96 だから、辺BC側が狭い方になり、これが求める答です。

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