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[答907] 軌跡による三角形の分割

ヤドカリ

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[答907] 軌跡による三角形の分割


 AB=AC=20,BC=24 の △ABCがあり、点Dは辺AB上の動点,点Eは辺AC上の動点とします。

 BE,CDの交点をPとして、四角形ADPE と △PBC の面積が等しくなるように点D,E を動かすとき、

 交点Pの軌跡によって △ABCは2つに分かれますが、そのうちの狭い方の面積は?


[解答1]

 BCを底辺とする高さは √(202-122)=√{(20+12)(20-12)}=16 です。

 四角形ADPE=△PBC より 四角形ADPE+△DBC=△PBC+△DBC 、△ABE=△BCD 、AE=BD だから、

 A(0,16),B(-12,0),C(12,0),D(-12+3t,4t),E(3t,16-4t) (0<t<4)とおけば、

 BE:(16-4t)x-(12+3t)y=-192+48t ,CD:4tx+(24-3t)y=48t 、

 P(x,y) とすれば、x=96(t-2)/(t2-4t+16),y=16t(4-t)/(t2-4t+16) になり、

 t-2=u とおけば -2<u<2 ,x=96u/(12+u2),y=16(4-u2)/(12+u2) 、

 y+16/3=(32/3)(12-u2)/(12+u2) 、

 u=(2√3)tan(θ/2) ,-π/3<θ<π/3 とおけて、

 x=96(2√3)tan(θ/2)/{12+12tan2(θ/2)}=(8√3)sinθ ,

 y+16/3=(32/3){12-12tan2(θ/2)} /{12+12tan2(θ/2)}=(32/3)cosθ になり、

 Pの軌跡の下の部分の面積は、

 ∫-1212 ydx=∫-1212 (y+16/3)dx - ∫-1212 (16/3)dx

  =∫-π/3π/3 (32/3)cosθ(8√3)cosθdθ -(16/3)[x]-1212

  =(256/√3)∫0π/3 cos2θdθ -(16/3)・24

  =(32/√3)∫0π/3 (4+4cos2θ)dθ -128

  =(32/√3)[4θ+2sin2θ]0π/3 -128

  =(64/√3)(4π/3+√3)-128=256π/(3√3)+64-128=(256√3)π/9-64=90.7775457…… です。

 一方、△ABC/2=24・16/4=96 だから、辺BC側が狭い方になり、これが求める答です。


☆ BE:(16-4t)x-(12+3t)y=-192+48t ,CD:4tx+(24-3t)y=48t を書き換えて、

  BE:4(4x-3y+48)=(4x+3y+48)t ,CD:(4x-3y-48)t=-24y 、

  辺々乗じて 4t で割ると、(4x-3y+48)(4x-3y-48)=-6y(4x+3y+48) 、

  16x2-24xy+9y2=-24xy-18y2-288y 、

  16x2+27y2+288y+768=768 、16x2+3(3y+16)2=768 、

  楕円 x2/48+(y+16/3)2/(256/9)=1 の一部です。


[解答2]

 BCを底辺とする高さは √(202-122)=√{(20+12)(20-12)}=16 ですが、

 △ABCを正三角形にするために (12√3)/16=(3√3)/4 倍に縦拡大します。

 四角形ADPE=△PBC より 四角形ADPE+△DBC=△PBC+△DBC 、△ABE=△BCD 、AE=BD 、

 △ABE≡△BCD であり、逆も成り立ちます。

 ∠ABE=∠BCD 、∠ABE+∠PBC=∠BCD+∠PBC 、60゚=∠BCP+∠PBC だから、∠BPC=120゚ です。

 よって、Pの軌跡は 円の一部であり、その円の半径は BC/√3=24/√3=8√3 で、

 弧BCの中心角は 120゚ です。

 よって、弓形BCの面積は π(8√3)2/3-24・(12/√3)/2=64π-48√3 です。

 元の三角形において、軌跡で分けられる辺BC側の面積は

 (64π-48√3)・4/(3√3)=(256√3)π/9-64=90.7775457…… です。

 一方、△ABC/2=24・16/4=96 だから、辺BC側が狭い方になり、これが求める答です。

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Comments 13

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

おはようございます
半夏生の群生が凄いですネ
この花も花よりも白く変わった葉っぱの方が目立つようですネ
ナイス☆彡

ひとりしずか  
No title

昨日は雑節の半夏生でしたね
関西地方ではタコを食べる風習があるとか・・・
タコ食べましたか?

昨日は34℃、快晴!
梅雨はなさそうです~

樹☆  
No title

おはようございます
ハンゲショウって自分の花に虫を呼び寄せるために
葉を半分白くするのですね。賢いです。

梅雨の合間、緑と白のコントラストの鮮やかさで
いっとき、忘れさせてくれます。ありがとう。。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解答2]の発想が素敵ですね☆
わたしゃ…AB=BC=20だとばかり思い込んでました…^^;…Orz...

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」を想起できませんでした。

いくつかのP点を算出し、楕円を推定しました。
そして、切断された楕円の面積は、その楕円を縦拡大し真円に仮想し求めました。
なのに、肝心な「P点の軌跡の解明」に「解答2」を想起できませんでした。

ニリンソウ  
No title

半夏生がいっぱい!!
凄いね~~~~一斉にお化粧始めたんですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
昨日が半夏生でしたが、記事の更新をしなかったので、
今日、半夏生の写真をアップしました。
半化粧の名前も似合う目立つ白さですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
稲の根がタコ足のように丈夫に育つように願っての風習だそうですね。
ただ、我が家は農業とは縁遠いので、そんな風習は受け継いでいません。
半夏生の雑節を知っている人も少ないです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
半夏生は本来梅雨の終わりで本格的な夏を迎える時期だそうですが、
7月上旬は例年梅雨明けはしていません。
半夏生の葉はこの時期は白いですが、だんだん緑になってしまいます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
このような問題は、
縦横の比を変えても全体に対する該当部分の割合は変わりませんので、
都合よく変えたのが[解答2]ですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
囲碁将棋の世界に「手順前後」という言葉があります。
手順が少し間違え、上手くいかないような時に使われます。
手順前後でも同じ結果が出たらそれでいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
みなさん、綺麗に化粧をしていますね。
この群生を毎年同じ場所で見ています。
他ではこんな群生は見たことがありません。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、変換ミスのご指摘を有難うございました。
早速訂正しました。