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[答908] 循環節の中の3個の数字

ヤドカリ

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[答908] 循環節の中の3個の数字


 a,b を自然数、a<b として、

 「 9800/9801 を小数に直すと 小数第a位からの3桁と小数第b位からの3桁とが一致する」が

 成り立つような自然数の組(a,b)のうち、b が最小のものは?


[解答]

 Rn=99n+98 とおけば、100Rn=9900n+9800=9801(n+1)+99n-1=9801(n+1)+Rn-1 だから、

 98以下の自然数nについて、100Rn を 9801 で割ったとき、商が n+1 で余りが Rn-1 です。

 また、R98=9800 なので、9800/9801=0.99989796…… となり、

 100R0=9800 を 9801 で割ると、商が 0 で余りが 9800 になるので、

 9800/9801 の循環節は 9998979695949392919089……121110090807060504030200 の 198桁 です。

 この循環節において、上から奇数桁目の数字が一致しても直後の数字が違い、

 上から偶数桁目の数字が一致しても直前の数字が違いますので、

 3桁が一致するとすれば、上から奇数桁目からの3桁と偶数桁目からの3桁です。

 上から奇数桁目の9の直前と直後の数字は異なり、偶数桁目の9の直前と直後の数字は同じだから、

 9の前後を含めた3桁が一致することはありません。

 そして、これば8,7,6,5,4,3,2,1の前後の3桁についても言えます。

 上から奇数桁目の0の前後を含む3桁については、

 009,908,807,706,605,504,403,302,200 で、その中央の0は、

 上から 181桁目,183桁目,185桁目,187桁目,189桁目,191桁目,193桁目,195桁目,197桁目で、

 上から偶数桁目の0の前後を含む3桁については、

 908,807,706,605,504,403,302,201,109 で、その中央の0は、

 上から 20桁目,40桁目,60桁目,80桁目,100桁目,120桁目,140桁目,160桁目,180桁目です。

 従って、循環節の中で3桁が一致するものは、

 【908】小数第19,182位から 、 【807】小数第39,184位から 、 【706】小数第59,186位から 、

 【605】小数第79,188位から 、 【504】小数第99,190位から 、【403】小数第119,192位から 、

 【302】小数第139,194位から と、循環節をまたぐ【009】小数第180,197位から で、

  答は 【908】の、小数第19,182位から です。

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Comments 13

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さっちゃんこ  
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おはようございます
インドハマユウのようですね
真っ白の花が奇麗ですね
ナイス☆彡

樹☆  
No title

おはようございます
なでしこ健闘しましたね。
ラッパ状に咲く花びら美しいですね。
海が近いですか?

tsuyoshik1942  
No title

解けず、解解説を待っていた一題ですが、
読み解けてておりません。後刻、じっくり読ませていただきます。

樹☆  
No title

朝は・・ナイスができなかったです。
だから遅くなりました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
正しくはアフリカハマユウというようですが、インドハマユウが一般的です。
本当のインドハマユウは中央がピンクだそうです。
アフリカとインド、象なら分かりやすいのですが……。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ナデシコの健闘は讃えられることですね。
アメリカも連覇を許すわけにいかないですよね。
ところで、軍艦島も世界遺産に決定しましたが、
後味が悪いですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
循環節が 99989796……030200 であることが分かればだいたい分かるのですが、
きちんと書こうとするとけっこう面倒です。

樹☆  
No title

こんばんは
ほんとに後味悪いです。
韓国に譲歩して・・議事録に「強制徴用」のことばが
残りました。
それに・・お金動いたでしょうね。
これから・・大丈夫かなと心配してます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしも...解答のようには理詰めではわからず…^^;
9800/9801の循環節が上のような二桁の並びになることを前提に見つけました…Orz…
二桁の数でも同じかと思うも…89がありました…
循環する2個の間隔が最小のものは009でしたのねぇ☆

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、三度のコメントをありがとうございます。
第3国に対して、日韓ともにイメージダウンしたと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
循環小数にはまだまだ気づかれていないことがありそうです。
間隔が最小のものも問題として通用しますね。

ニリンソウ  
No title

これがインドなのでしたか!
アフリカもあるとは知りませんでした。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
これもアフリカハマユウです。
本物のインドハマユウを見たことがありません。