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[答909] 回文数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答909] 回文数


 10進法で表しても 11進法で表しても 3桁の回文数である自然数は何個?

 また、その最小数と最大数を 10進法で表すといくら?


[解答1]

 a=1,2,……,9 、b=0,1,2,……,9 、c=1,2,……,8 、d=0,1,2,……,9,10 として

 求める数を N=101a+10b=122c+11d とします。

 a≧c だから、a=c+k≦9 とすれば、

 101(c+k)+10b=122c+11d 、101k+10b=21c+11d≦21・8+11・10=278 だから、k=0,1,2 です。

 ここで、k≡c+d (mod 10) だから、c+d=k または c+d=k+10 です。

 c+d=k のとき、21c+11d≦21c+21d なので、

 101k+10b≦21k 、k=b=0 ですが、これは k=c+d≧1 に反します。

 c+d=k+10 のとき、d=k+10-c を 101k+10b=21c+11d に代入して、

 101k+10b=21c+11(k+10-c) 、90k+10b=10c+110 、9k+b=c+11 、

 (k,b,c)=(1,3,1),(1,4,2),(1,5,3),(1,6,4),(1,7,5),(1,8,6),(1,9,7),(2,0,7) 、

 N=101a+10b=101(k+c)+10b=232,343,454,565,676,787,898,909 です。

 よって、条件に合う回文数は 8個で、最小数は 232,最大数は 909 です。


[解答2]

 a=1,2,……,9 、b=0,1,2,……,9 、c=1,2,……,8 、d=0,1,2,……,9,10 として

 求める数を N=101a+10b=122c+11d とします。

 N=111a+10(b-a)=111c+11(c+d) 、11(c+d)-10(b-a)=111(a-c) 、

 ここで、1≦c+d≦18,-9≦b-a≦8 だから、11≦11(c+d)≦198,-80≦-10(b-a)≦90 、

 -69≦11(c+d)-10(b-a)≦288 、-69≦111(a-c)≦288 、a-c=0,1,2 です。

 10(b-a)=11(c+d)-111(a-c) ,11(c+d) は 11の倍数で 11≦11(c+d)≦198 だから、

 a-c=0 のとき 10(b-a)=11(c+d) 、b-a≦8 だから成り立ちません。

 a-c=1 のとき 10(b-a)=11(c+d)-111 、-9≦b-a≦8 だから 、

  11(c+d)=11 のとき成り立ちませんので、11(c+d)=121 、c+d=11,b-a=1 です。

  結局、b=a+1,c=a-1,d=11-c=12-a,N=111a+10 (a=2,3,……,8) です。

 a-c=2 のとき 10(b-a)=11(c+d)-222 、-9≦b-a≦8 だから 、

  11(c+d)=22 のとき成り立ちませんので、11(c+d)=132 、c+d=12,b-a=-9 です。

  結局、a=9,b=0,c=7,d=5,N=909 です。

 よって、条件に合う回文数は 111a+10 (a=2,3,……,8) と 909 の 8個で、

 最小数は 232,最大数は 909 です。


[解答3]

 a=1,2,……,9 、b=0,1,2,……,9 として 求める数を N=101a+10b とします。

 N=101a+10b=121a-11(2a-b)+(2a-b) で、

 -7≦2a-b≦18 だから k=[(2a-b)/11] とすれば k=-1,0,1 です。

 k=-1 のとき -7≦2a-b≦-1 だから N は 11進法で最上位が a,最下位が 2a-b+11 になり、

  a=2a-b+11 、b-a=11 に該当する a,b は存在しません。

 k=0,2a-b=0 のとき N は 11進法で 100 だから適しません。

 k=0,2a-b≧1 のとき N は 11進法で最上位が a-1,最下位が 2a-b になり、

  a-1=2a-b 、b-a=1 、2a-b=b-2(b-a)≧1 より b≧3 、

  N=101a+10b=101(b-1)+10b=111b-101 (b=3,4,……,9) です。

 k=1 のとき N は 11進法で最上位が a-2,最下位が 2a-b-11 になり、

  a-2=2a-b-11 、b-a=-9 だから、a=9,b=0,N=909 です。

 よって、条件に合う回文数は 111b-101 (b=3,4,……,9) と 909 の 8個で、

 最小数は 232,最大数は 909 です。


[解答4]

 c=1,2,……,8 、d=0,1,2,……,9,10 として 求める数を N=122c+11d とします。

 N=122c+11d=100c+10(2c+d)+(2c+d) で、

 2≦2c+d≦26 だから k=[(2c+d)/10] とすれば k=0,1,2 です。

 k=0 のとき N は 百の位が c,一の位が 2c+d になり、

  c=2c+d 、c+d=0 に該当する c,d は存在しません。

 k=1,2c+d≦18 のとき N は 百の位が c+1,一の位が 2c+d-10 になり、

  c+1=2c+d-10 、c+d=11 、2c+d=c+(c+d)≦18 より c≦7 、

  N=122c+11d=111c+11(c+d)=111c+121 (c=1,2,……,7) です。

 k=1,2c+d=19 のとき N は 百の位が c+2,一の位が 2c+d-10 になり、

  c+2=2c+d-10 、c+d=12 だから、c=7,d=5,N=909 です。

 k=2 のとき N は 百の位が c+2,一の位が 2c+d-20 になり、

  c+2=2c+d-20 、c+d=22 に該当する c,d は存在しません。

 よって、条件に合う回文数は 111c+121 (c=1,2,……,7) と 909 の 8個で、

 最小数は 232,最大数は 909 です。

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Comments 17

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樹☆  
No title

おはようございます
こちら青空です。梅雨が明けたかのようです。
紫色のきれいなお花ですね。なんでしょうか。

こっこちゃん  
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花の名前は解りませんが

良く見る花ですね ナイス☆

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
このお花さんはお初です~~
暖かい地方にはいろんなお花があっていいですね。
ナイス☆

ひとりしずか  
No title

セイヨウニンジンボクでしょうか~
紫が涼しげ~
こちら34℃超えています!

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
西洋ニンジンボクが奇麗ですネ
今もみじの里でも咲いています
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title


写真はセイヨウニンジンボクの花です。
セイヨウニンジンボクは涼しげな青紫の花を咲かせます。
生育旺盛で育てやすいシソ科の落葉低木です。
セイヨウニンジンボクの仲間(ハマゴウ属)は主に熱帯に分布します。
日本にもハマゴウ、ミツバハマゴウが自生しています。
小さな花が集まった円錐形の花序は、一際目立ちます。
樹高は3mほどになり、葉は5~9枚の手のひら状になります。
ニンジンボクの名は、葉がチョウセンニンジンに似ることによります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に書きましたように、セイヨウニンジンボクです。
青紫色が素敵な花です。
此方は朝は雨でしたが次第に晴れてきた一日でした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
育てやすい樹木だそうで、温暖な地方ではよく見られると思います。
青紫色が涼しげですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
7月になって暑くなり、花が少なくなってきましたが、
それでもいろんな花が見られます。
また、北海道の花を見せてくださいね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
セイヨウニンジンボクをよくご存じですね。
当方は最高気温32.8℃、そちらの方が暑いですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この仲間はもともと熱帯に多いので、宮崎では育ちやすいでしょう。
「今もみじの里でも咲いています」に納得です。

ニリンソウ  
No title

大きな木でこちらの植物園でも見るんです。
爽やかな青が眼を引きますね。

ナイス

ひとりしずか  
No title

去年まで住んでいた家の近くにこの花がありました。
いい香りがしてました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
そちらの植物園にもあるんですね。
青紫が爽やかで、素敵な花ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、再度のコメントをありがとうございます。
近くにあったのでご存じなのですね。
暑い所の植物なのに、寒さにもけっこう強いそうですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答4]のフォルムで考えましたが…c=1~8まで地道に当て嵌めて求めましたぁ ^^;
100<k^3<10000・・・5<=k<=21進法までなら存在する可能性があるわけですね ^^…たぶん…Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
地道に当てはめるのがはやいこともよくあることですが、
なるべく労力を減らす工夫が面白いです。