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[答911] 三角関数と極限

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答911] 三角関数と極限


 cn=1+cos{π/(3・2n)} として、 n → ∞ のとき、 c1・c2・c3・……・cn/2n → ?


[解答]

 f(n)=c1・c2・c3・……・cn/2n とおきます。

 cn/2=cos2{π/(3・2n+1)} ですので、

 f(n)=cos2{π/(3・22)}・cos2{π/(3・23)}・cos2{π/(3・24)}・……・cos2{π/(3・2n+1)} 、

 f(n)・sin2{π/(3・2n+1)}=(1/22n)sin2(π/6)=1/22n+2

 f(n)=(1/22n+2)/sin2{π/(3・2n+1)}=(9/π2){π/(3・2n+1)}2/sin2{π/(3・2n+1)} 、

 よって、n → ∞ のとき、π/(3・2n+1) → 0 、{π/(3・2n+1)}/sin{π/(3・2n+1)} → 1 、

 f(n) → 9/π2=0.91189…… です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

シベが花びらより目立っていますね・・

樹☆  
No title

おはようございます。
台風の進路気をつけてください。

フェイジョアのようなシベで魅了されるお花可愛いですね。
このお花はなんというのですか?
可憐です。

ニリンソウ  
No title

ツンツンとたったしべ、小ぶりな花?
紫シキブの白(白式部)でしょうか。
ナイス
雨は無いけど風が強い
ここでも影響があるって大型なんですね。

こっこちゃん  
No title

シベの 長い花ですね

台風はそれましたが 気温が高く 気分すぐれません

ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
蕊の長い可愛い花ですが余り見た記憶が無い花です

ナイス♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
シロシキブの花です。実はご存知ですよね。
花も実と同様に白っぽいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
台風は去りましたが、去ってからの方が雨が強く、
まだ、大雨警報発令中です。
ところで、写真はシロシキブの花です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
流石によくご存じですね。仰る通り、シロシキブです。
此方は反対で、風は弱いけど雨が強いです。一日中降りました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
このシベの長い花はシロシキブです。
今日は台風の影響で、こちらは気温があまり上がりませんでした。
台風前の高温の方が堪えました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
多分、見られたことがあるのではないかと思います。
シロシキブの花です。実にならないと目立ちませんね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
えらい計算ができるものですね ^^
いろいろここで習って来たので気づけるようになりましたが☆
オイラーさんもビックリ ^^...?
ζ(2)=π^2/6 の形からしても…三角関数とゼータ関数との間に密接な関係があることが推測できますねぇ♪
cn/2=cos^2{π/(3・2n+1)}=1-sin^2{π/(3・2n+1)} と
1-1/p^2 の形が似てますね ^^;…だからどうしたですけど…Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
これは単純な三角関数の問題です。
ゼータ関数は難しすぎます。