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[答914] 垂心を通る直線

ヤドカリ

ヤドカリ



[答914] 垂心を通る直線


 BC=63,CA=60,AB=39 である △ABCの垂心をHとし、Hを通る直線と辺AB,ACとの交点を

 それぞれ P,Q 、Hで線分PQと直交する直線と辺BCとの交点をDとします。

 PH:HQ=13:23 のとき、BDの長さは?


[解答1]

 AHとBCの交点をOとすれば、三平方の定理より AO2=AB2-BO2=AC2-OC2

 392-BO2=602-(63-BO)2 、392-BO2=602-632+126・BO-BO2

 126・BO=392+632-602=1521+123・3=1890 、BO=15 、

 OC=63-15=48 、AO=√(AB2-BO2)=√(392-152)=√(54・24)=36 です。

 よって、O(0,0),A(0,36),B(-15,0),C(48,0) とおくことができます。

 ACの傾きは -3/4 だから BH:y=4(x+15)/3 になり、H(0,20) 、PQ:y=mx+20 とします。

 AB:y=12x/5+36 、mx+20=12x/5+36 、(m-12/5)x=16 、Pのx座標は -16/(12/5-m) 、

 AC:y=-3x/4+36 、mx+20=-3x/4+36 、(m+3/4)x=16、Qのx座標は 16/(m+3/4) です。

 よって、16/(12/5-m):16/(m+3/4)=13:23 、(m+3/4):(12/5-m)=13:23 、

 23(m+3/4)=13(12/5-m) 、m=31/80 です。

 HD:y=-x/m+20 より Dのx座標は 20m=31/4 、BD=BO+OD=15+31/4=91/4 です。


[解答2]

 Bを通り DHに平行な直線と CHの延長との交点を Eとします。

 BP⊥HE,HP⊥EB だから Pは△EBHの垂心で EP⊥BH 、また BH⊥AC だから、EP//AC となり、

 BE//DH と併せて、BD:DC=EH:HC=PH:HQ=13:23 、BD=(13/36)BC=(13/36)・63=91/4 です。

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Comments 14

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さっちゃんこ  
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おはようございます
カワラナデシコが奇麗ですね

ナイス☆彡

樹☆  
No title

わぁ~さわやかな色のお花ですね。
このナデシコ優しい感じがします。

おはようございます。
今朝は蝉の声が聞こえません。休憩でしょうか。
暑そうですが。。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解答2]鮮やかに解けるものですね☆
補助線一発=発見的解法...初等幾何の深遠さをまざまざと知らされます♪...人間の右脳の働きって凄いんだわ ^^☆ Orz~

こっこちゃん  
No title

カワラナデシコ

可憐な花で 好きです

優しい気持ちに慣れますよね ナイス☆

ひとりしずか  
No title

こちらでもまだぽちぽつと咲いています。
花びらが気にいってます!

uch*n*an  
No title

私の解法も初等幾何でしたが,結局は座標による[解答1]と等価な範囲でした。
もう一工夫できそうな気はしていたのですが,なるほど,[解答2]は見事ですね。
思い付けず,残念。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
カワラナデシコはよく見る花ですが、
美しさを競うように咲いているのが素敵でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
カワラナデシコのピンクは優しい色ですね。
ところで、こちらは朝から五月蠅く蝉が鳴いていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
初等幾何は奥深いですね。
そのようなひらめきがなくても解ける座標も凄いです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントをありがとうございます。
カワラナデシコは可憐な姿を見せてくれます。
優しい気持ちになれたらいいですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
カワラナデシコはけっこう花期が長いですね。
花弁の色も形も、私も気に入っています。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
BD の長さを求めた後で、
BD:DC を計算したら気づけたかも知れませんね。

ニリンソウ  
No title

優しい色ですね。
今日も山で見たのですが同じ種類かな
山でも河原となるのかな?

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
私もなぜ「カワラ」なのか分かりません。
河原では見たことがないもので。