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[答915] 三角形の残り2辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答915] 三角形の残り2辺の長さ


 ∠A=2∠C,AC=16 である △ABCの辺BC上に AH⊥BC を満たす点Hをとります。

 BH:HC=1:8 のとき、AB=? また、BC=?


[解答1]

 ∠C=θ とすれば、正弦定理より、

 AB:BC:CA=sinθ:sin2θ:sin(π-3θ)=sinθ:sin2θ:sin3θ

  =sinθ:2sinθcosθ:(3sinθ-4sin3θ)=1:2cosθ:(3-4sin2θ)

 cosθ=k とすれば、AB:BC:CA=1:2k:{(3-4(1-k2)}=1:2k:(4k2-1) 、

 また、cosθ=(8/9)BC/CA=(8/9)・2k/(4k2-1)=16k/(36k2-9) ですので、

 16k/(36k2-9)=k 、16/(36k2-9)=1 、16=36k2-9 、k=5/6 です。

 よって、AB:BC:CA=1:2k:(4k2-1)=1:5/3:16/9=9:15:16 、

 AC=16 だから、AB=9 ,BC=15 です。


[解答2]

 ∠Aの二等分線とBCの交点をDとすれば、△ABC∽△DBA だから、BC:BA=(CA+AB):(AD+DB) 、

 BC:BA=(16+AB):(CD+DB) 、BC:AB=(16+AB):BC 、(AB+16)AB=BC2 です。

 AH2=AB2-BH2=AC2-CH2 、AB2-AC2=BH2-CH2=(BC/9)2-(8BC/9)2

 (AB+16)(AB-16)=-(7/9)BC2 です。

 (AB+16)(AB-16)=-(7/9)BC2 ,(AB+16)AB=BC2 より、

 (AB-16)/AB=-7/9 、9AB-144=-7AB 、AB=9 、BC2=(AB+16)AB=25・9 、BC=5・3=15 です。

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Comments 13

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ヤドカリ  
No title


写真の花はフシグロセンノウです。
フシグロセンノウは日本特産の多年草で、
本州の太平洋側の温暖な地帯に分布し、
林床や樹陰に自生します。
夏~秋に朱赤色の花を次々に咲かせます。
名の由来は茎の節が黒いことと、
京都嵯峨の仙翁寺で発見されたことからです。

ひとりしずか  
No title

1度だけ実物見たことあります。
色が好きなのと、落ち着いた感じがしました。

ニリンソウ  
No title

明るいオレンジですね~
そちらの山にはよく見かけると思います。
節から挿し木も効きました。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私はこの花を初めて見た時、オレンジ色の花が印象的で、
調べたところ、フシグロセンノウと知りました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
仰るように、この時期に山でよく見かける花です。
他の所で見たのですが、近頃、時間をかけて登れないので、
懐かしい気持ちになって撮りました。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

ヤドカリさん地方も猛暑なのでしょう。
体に気をつけてください。
お花も「あぢー!!」って言っていそうです。
ポチ☆

樹☆  
No title

初めて見るお花だと思います。
名前・・なるほどです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]は、コロンブスの卵ぉ~ ^^;☆
頭の中で図を描いてはみたのですが...辺の比だけでだせるんだろうかと余り考えもせず…放棄…^^;;
じっくり取り組んでみるべきでしたぁ…Orz~

今日もまた頭から煙の出そうな、薫製になっちゃいそうなお天気でしたが...昨日よりかは清しいと思えたのは体が馴致して来たのかもしれません ^^;v♪

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
此方は朝から暑く湿度も高いので、汗だくです。
北海道の冷気を少しでもおすそ分けしてほしいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私にとっては馴染みの花でした。
このごろ見かけることは多くありませんが、山の冷気を感じます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
ミソの醗酵が進みそうです。
腐敗する前に問題を考えないといけません。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
フシグロセンノウ 始めてみる花ですがオレンジの色が鮮やかですネ

一度見たら心に残る色ですネ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私も初めて見た時の、オレンジ色が印象に残っています。
節が黒いのはあまり印象にはありませんでした。