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[答916] 半円と三角形と3個の円

ヤドカリ

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[答916] 半円と三角形と3個の円


 ABを直径とする 半径が 1 の半円の弧上に点Pをとり、弦PA,PB で △PABと2個の弓形に分け、

 この3つの部分に含まれる最大の円を描きます。

 3つの円の面積の和 S が最小になるように点Pをとるとき、△PABの面積は?


[解答1]

 ∠PAB=θ (0<θ<π/2) とすれば、PA=ABcosθ=2cosθ,PB=ABsinθ=2sinθ です。

 △PABの内接円の半径は (PA+PB-AB)/2=(2cosθ+2sinθ-2)/2=cosθ+sinθ-1 、

 弓形PA内の円の半径は (1-PB/2)/2=(1-sinθ)/2 、

 弓形PB内の円の半径は (1-PA/2)/2=(1-cosθ)/2 になり、

 S=π(cosθ+sinθ-1)2+π(1-sinθ)2/4+π(1-cosθ)2/4 、

 S/π=(cosθ+sinθ-1)2+(1-sinθ)2/4+(1-cosθ)2/4

  =(cosθ+sinθ-1)2+(1-2sinθ+sin2θ+1-2cosθ+cos2θ)/4

 ここで、cosθ+sinθ=x とおけば、x=(√2)cos(θ-π/4) だから 1<x≦√2 で、

 S/π=(x-1)2+(3-2x)/4=x2-5x/2+7/4=(x-5/4)2+3/16 、

 よって、x=5/4 のとき Sの最小値は 3π/16 です。

 cosθ+sinθ=5/4 のとき、(cosθ+sinθ)2=25/16 、1+2cosθsinθ=25/16 、

 (2cosθ)(2sinθ)/2=9/16 、PA・PB/2=9/16 、△PAB=9/16 になります。

 なお、PA+PB=5/2,PA・PB=9/8 だから、PA,PB=(5±√7)/4 です。


[解答2]

 PA=2a,PB=2b,△PABの内接円の半径を r とすれば、a2+b2=1 で、

 △PABの内接円の半径は (PA+PB-AB)/2=(2a+2b-2)/2=a+b-1=r 、a+b=r+1 、

 弓形PA内の円の半径は (1-PB/2)/2=(1-b)/2 、

 弓形PB内の円の半径は (1-PA/2)/2=(1-a)/2 になり、

 S=πr2+π(1-b)2/4+π(1-a)2/4 、

 S/π=r2+(1-2a+a2+1-2b+b2)/4

  =r2+(3-2a-2b)/4=r2+{3-2(r+1)}/4

  =r2-r/2+1/4=(r-1/4)2+3/16

 よって、r=1/4 となり得れば、そのとき Sの最小値は 3π/16 です。

 このとき、a+b=r+1=5/4 、2ab=(a+b)2-(a2+b2)=25/16-1=9/16 、

 PA+PB=2a+2b=5/2 ,PA・PB=2a・2b=9/8 より、

 PA,PB は x2-5x/2+9/8=0 ,4x2-10x+9/2=0 の解、

 PA,PB=2a,2b=(5±√7)/4 です。

 △PAB=2ab=9/16 になります。

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Comments 13

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

開花しはじめ・・・
蕾がドングリみたい~

ニリンソウ  
No title

これは野菜? 違うみたい!
多様な植物にはいくつになっても新発見があります。
今日も暑そうです。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
見たことが無いような花の様ですね!?
黄色の小さな花が可愛いですネ!!

ナイス♪

こっこちゃん  
No title

私もあまり見ないはなですよ

日々異常な暑さですよね

お体ご自愛下さいね ナイス☆

ヤドカリ  
No title


写真の花はキレンゲショウマです。
深山の湿った木陰にまれに見られるユキノシタ科の多年草で、
石灰岩地帯に多い遺存的な分布をする植物です。
茎の高さは80~120cm,葉身は長さ幅ともに10~20cm,
7~8月に美しい黄色の花を開きます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に書きましたように、キレンゲショウマの花です。
蕾が次々開いて綺麗な花を咲かせます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に書きましたように、キレンゲショウマの花です。
花の文化園で見ました。天然記念物だそうです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントをありがとうございます。
見たことがなくって当然です。剣山に自生しているそうです。
知らない花がまだまだたくさんありますね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私は花の文化園で見ましたが、他で見たことがありません。
日々の異常な暑さには私もグッタリですが、何とか乗り切りたいです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは[解答2]に気づけたのですっきり ^^
いかにも算額に出て来そうな奇麗な絵柄の問題ね☆
それにしても暑すぎます…電力不足になっちゃう懸念はないのか知らん…?…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
たまに、きれいな図形の問題も見つかります。
特に円を組み合わせているときです。

樹☆  
No title

このお花は可愛いですね。
幸せの黄色い花でしょうか。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
キレンゲショウマという珍しい花です。
「幸せの黄色いハンカチ」とよく結びつきますね。