[答917] 直角二等辺三角形の等辺の長さ

[答917] 直角二等辺三角形の等辺の長さ


　ABが斜辺である直角二等辺三角形の内部に点Pがあり、PA＝15，PB＝39，PC＝24 のとき、BC＝？


[解答1]

　AC＝BC＝x，∠PCB＝θ とすれば、∠PCA＝90ﾟ－θ です。

　余弦定理より、

　39²＝24²＋x²－2･24･x･cosθ 、48x･cosθ＝x²－945 で、

　15²＝24²＋x²－2･24･x･cos(90ﾟ－θ) 、48x･sinθ＝x²＋351 です。

　２乗して加えると、2304x²＝2x⁴－1188x²＋1016226 、x⁴－1746x²＋508113＝0 、

　(x²－1377)(x²－369)＝0 、x²＝1377，369 、x＝9√17，3√41 、

　x＝3√41 のときは AB＝3√82＜39 になり適しません。x＝9√17 が答になります。


[解答2]

　中左図のように、△CAP≡△CBQ となるように点Qを△ABCの外部にとり、

　中右図のように、BからPCにおろした垂線の足をG，QからBGにおろした垂線の足をH とします。

　QH＝a，BH＝b とすれば、三平方の定理により a²＋b²＝15² で、

　また、(24－a)²＋(24＋b)²＝39² 、1152－48a＋48b＋a²＋b²＝1521 、

　1152－48a＋48b＋225＝1521 、b＝a＋3 になり、

　a²＋b²＝15² に代入して、a²＋(a＋3)²＝15² 、

　2a²＋6a－216＝0 、a²＋3a－108＝0 、(a－9)(a＋12)＝0 、a＝9，b＝12 です。

　BC²＝a²＋(24＋b)²＝9²＋36²＝9²(1²＋4²) 、 BC＝9√17 になります。


[解答3]

　下左図のように、Pの 辺BC，CA，ABに関して対称な点をそれぞれ L，M，N とすれば、

　五角形ANBLMは△ABCの面積の２倍になり、BC² と等しくなります。

　下右図のように、△ANM＝15²/2＝225/2 ，△BLN＝39²/2＝1521/2 です。

　△LMNの辺の長さは 48，15√2，39√2 なので、計算を簡単にするために 1/(3√2) にして、

　(8√2＋5＋13)/2＝4√2＋9 だから、ヘロンの公式により、

　△LMN/18＝√｛(4√2＋9)(4√2＋9－8√2)(4√2＋9－5)(4√2＋9－13)｝

　 ＝√｛(4√2＋9)(－4√2＋9)(4√2＋4)(4√2－4)｝＝√(49･16)＝7･4＝28 です。

　よって、BC²＝225/2＋1521/2＋18･28＝1377 、 BC＝9√17 になります。

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