FC2ブログ

Welcome to my blog

[答917] 直角二等辺三角形の等辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答917] 直角二等辺三角形の等辺の長さ


 ABが斜辺である直角二等辺三角形の内部に点Pがあり、PA=15,PB=39,PC=24 のとき、BC=?


[解答1]

 AC=BC=x,∠PCB=θ とすれば、∠PCA=90゚-θ です。

 余弦定理より、

 392=242+x2-2・24・x・cosθ 、48x・cosθ=x2-945 で、

 152=242+x2-2・24・x・cos(90゚-θ) 、48x・sinθ=x2+351 です。

 2乗して加えると、2304x2=2x4-1188x2+1016226 、x4-1746x2+508113=0 、

 (x2-1377)(x2-369)=0 、x2=1377,369 、x=9√17,3√41 、

 x=3√41 のときは AB=3√82<39 になり適しません。x=9√17 が答になります。


[解答2]

 中左図のように、△CAP≡△CBQ となるように点Qを△ABCの外部にとり、

 中右図のように、BからPCにおろした垂線の足をG,QからBGにおろした垂線の足をH とします。

 QH=a,BH=b とすれば、三平方の定理により a2+b2=152 で、

 また、(24-a)2+(24+b)2=392 、1152-48a+48b+a2+b2=1521 、

 1152-48a+48b+225=1521 、b=a+3 になり、

 a2+b2=152 に代入して、a2+(a+3)2=152

 2a2+6a-216=0 、a2+3a-108=0 、(a-9)(a+12)=0 、a=9,b=12 です。

 BC2=a2+(24+b)2=92+362=92(12+42) 、 BC=9√17 になります。


[解答3]

 下左図のように、Pの 辺BC,CA,ABに関して対称な点をそれぞれ L,M,N とすれば、

 五角形ANBLMは△ABCの面積の2倍になり、BC2 と等しくなります。

 下右図のように、△ANM=152/2=225/2 ,△BLN=392/2=1521/2 です。

 △LMNの辺の長さは 48,15√2,39√2 なので、計算を簡単にするために 1/(3√2) にして、

 (8√2+5+13)/2=4√2+9 だから、ヘロンの公式により、

 △LMN/18=√{(4√2+9)(4√2+9-8√2)(4√2+9-5)(4√2+9-13)}

  =√{(4√2+9)(-4√2+9)(4√2+4)(4√2-4)}=√(49・16)=7・4=28 です。

 よって、BC2=225/2+1521/2+18・28=1377 、 BC=9√17 になります。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

かわいらしい~
シベがアクセント!

こっこちゃん  
No title

おはようございます !(^^)!

もしかして そばの花ですか

可愛くとても好きな花です

まもなく咲くころかしら ナイス☆

ニリンソウ  
No title

そうね~蕎麦の花だと思いました。
この辺でも見かけない山間部に行くと今頃見れるのかな。
「新蕎麦」なんて看板みたら食べたいですね。

ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~
ヤドカリさん地方は、最低気温も下がらないから連日
熱帯夜なのでしょうね。
お体に気をつけて過ごしてください。

そばの花がもう咲いているのですか?
暑い街は何でも早いわ~~
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
座標でしか思い付きませんでした…^^;
[解答3]は…目から鱗でしたぁ☆
この五角形の中に直角二等辺三角形が隠れているなんて…Aha~!!
お気に入り♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
此方ではあまり見られないのですが、ソバの花です。
けっこう可愛い花を咲かせますね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントをありがとうございます。
よくご存じですね。仰る通り、ソバの花です。
そちらでも見られるのですか? こちらではほとんど見かけない花です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
此方でもソバを食べますが、私は饂飩が多いです。
それよりも、幼少の頃使っていたソバ殻の枕を思い出します。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
此方は猛暑日と熱帯夜の連続ですが、何日続いているのかすぐ忘れます。
ソバの花は此方ではほとんど見られませんが、たまたま撮れました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
座標は確実な手立てですね。
それで解いておいて、面白い解き方を探すのも面白いです。

樹☆  
No title

以前、畑でそばの花みたことがあり
すごくすてきだったですよ。可愛いですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ソバの花はあまり見かけませんが、
白い小さな可愛い花ですね。