[答917] 直角二等辺三角形の等辺の長さ
[答917] 直角二等辺三角形の等辺の長さ
ABが斜辺である直角二等辺三角形の内部に点Pがあり、PA=15,PB=39,PC=24 のとき、BC=?
[解答1]
AC=BC=x,∠PCB=θ とすれば、∠PCA=90゚-θ です。
余弦定理より、
392=242+x2-2・24・x・cosθ 、48x・cosθ=x2-945 で、
152=242+x2-2・24・x・cos(90゚-θ) 、48x・sinθ=x2+351 です。
2乗して加えると、2304x2=2x4-1188x2+1016226 、x4-1746x2+508113=0 、
(x2-1377)(x2-369)=0 、x2=1377,369 、x=9√17,3√41 、
x=3√41 のときは AB=3√82<39 になり適しません。x=9√17 が答になります。
[解答2]
中左図のように、△CAP≡△CBQ となるように点Qを△ABCの外部にとり、
中右図のように、BからPCにおろした垂線の足をG,QからBGにおろした垂線の足をH とします。
QH=a,BH=b とすれば、三平方の定理により a2+b2=152 で、
また、(24-a)2+(24+b)2=392 、1152-48a+48b+a2+b2=1521 、
1152-48a+48b+225=1521 、b=a+3 になり、
a2+b2=152 に代入して、a2+(a+3)2=152 、
2a2+6a-216=0 、a2+3a-108=0 、(a-9)(a+12)=0 、a=9,b=12 です。
BC2=a2+(24+b)2=92+362=92(12+42) 、 BC=9√17 になります。
[解答3]
下左図のように、Pの 辺BC,CA,ABに関して対称な点をそれぞれ L,M,N とすれば、
五角形ANBLMは△ABCの面積の2倍になり、BC2 と等しくなります。
下右図のように、△ANM=152/2=225/2 ,△BLN=392/2=1521/2 です。
△LMNの辺の長さは 48,15√2,39√2 なので、計算を簡単にするために 1/(3√2) にして、
(8√2+5+13)/2=4√2+9 だから、ヘロンの公式により、
△LMN/18=√{(4√2+9)(4√2+9-8√2)(4√2+9-5)(4√2+9-13)}
=√{(4√2+9)(-4√2+9)(4√2+4)(4√2-4)}=√(49・16)=7・4=28 です。
よって、BC2=225/2+1521/2+18・28=1377 、 BC=9√17 になります。
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