[答918] 三角形の辺の長さ
[答918] 三角形の辺の長さ
△ABCの辺BC上に点D,Eがあって、BD=151,BE=578,BC=880,∠ADB=90゚,∠BAD=∠EAC です。
このとき、辺の長さ AB=? AC=?
[解答1]
DE=427,DC=729 ,tan∠BAD=151/AD ,tan∠EAD=427/AD ,tan∠CAD=729/AD です。
tan∠CAD=tan(∠CAE+∠EAD)=tan(∠BAD+∠EAD)
=(tan∠BAD+tan∠EAD)/(1-tan∠BADtan∠EAD) 、
tan∠CAD(1-tan∠BADtan∠EAD)=tan∠BAD+tan∠EAD 、
tan∠CAD-tan∠CADtan∠BADtan∠EAD=tan∠BAD+tan∠EAD 、
729/AD-729・151・427/AD3=151/AD+427/AD 、151/AD=729・151・427/AD3 、
AD2=729・427=311283 です。
AB=√(AD2+BD2)=√(311283+1512)=√334084=578 、
AC=√(AD2+DC2)=√(311283+7292)=√842724=918 です。
[解答2]
平行四辺形ABEFを描けば、EC=880-578=302=2BD だから、
△FECは FE=FC の二等辺三角形になり、∠EFC=2∠BAD=2∠EAC 、
よって、中心がFで半径がFEの円周上にAがあることになり、FA=FE 、
平行四辺形ABEFは菱形となり、その1辺は BE=578 、よって、AB=578 です。
また、四角形ABCFは等脚台形なので、トレミーの定理により、AC・FB=AF・BC+AB・FC 、
AC2=578・880+578・578=578・1458=2・289・2・729 、AC=2・17・27=918 です。
.