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[答919] 長方形の中の長方形

ヤドカリ

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[答919] 長方形の中の長方形


 長方形ABCDがあって、辺AB,CDを 1:2 に内分する点をそれぞれ P,Qとすれば、

 図のように、辺AD,BC上の1点ずつとP,Qを頂点とする長方形は2種類あります。

 この2種類の長方形の面積が 60,111 であるとき、AB=? また、BC=?


[解答1]

 面積が 60 である長方形のAD上の頂点をR,面積が 111 である長方形のAD上の頂点をS とします。

 長方形の中心をOとすれば、OP=OQ=OR=OS だから、AR=DS です。

 AR=DS=a,DR=AS=b,AP=CQ=k,PB=QD=2k とします。

 小さい方の長方形の面積は 3k(a+b)-ka-2kb=2ka+kb=60 で、

 大きい方の長方形の面積は 3k(a+b)-2ka-kb=ka+2kb=111 ですので、

 連立して、ka=3,kb=54 になります。

 また、△APR∽△DRQ だから、AP:DR=AR:DQ 、k:b=a:2k 、2k2=ab 、

 2k4=ka・kb=3・54 、k4=81 、k=3 、AB=3k=9 、

 BC=a+b=3k(a+b)/(3k)={(2ka+kb)+(ka+2kb)}/9=(60+111)/9=171/9=19 です。


[解答2]

 面積が 60 である長方形のAD上の頂点をR,面積が 111 である長方形のBC上の頂点をT とします。

 長方形の中心をOとすれば、OP=OQ=OR=OT だから、AR=BT です。

 それぞれの図の4個ずつの直角三角形を組み合わせると長方形ABCDを作れるので、

 ( 2つの長方形の面積の和が 長方形ABCDになり、長方形ABCD=60+111=171 です )

 2(長方形ABTR)/3+(長方形RTCD)/3=60 ,(長方形ABTR)/3+2(長方形RTCD)/3=111 になり、

 長方形ABTR=9 ,長方形RTCD=162 、AR:RD=9:162=1:18 です。

 また、△APR∽△DRQ だから、AP:DR=AR:DQ 、AB/3:18AD/19=AD/19:2AB/3 、

 2AB2/9=18AD2/361 、AB2/81=AD2/361 、AB/9=AD/19 、

 AB:BC=9:19 と AB・BC=171 より、AB=9,BC=19 です。

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Comments 11

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ひとりしずか  
No title

盆花としてよく使われるというボンバナ、ショウリョウバナ(精霊花)とも呼ばれる
ミソハギのようですね。遠目に萩と思った花でした。

ニリンソウ  
No title

盆花に使いますか?
処によってでしょうがこちらの盆花はアズマ菊
ケイトウ、オミナエシ、トルコキキョウ等です。
カヤが必ず入るのもイワレがあるのかな。

uch*n*an  
No title

なるほど,[解答2]のようにできるのか。何かあるだろうな,と思ったものの気付けず。
私も二つの方法で解きましたが,アプローチは違うものの[解答1]の方向でした。
もう一工夫が必要でしたね。

たけちゃん  
No title

解答でいう「AR=SD」(AR=BT)に気付いていませんでした.
ある方針にとらわれて大事なことに気付けないというポカです.

私は次のように解きました.
AB=3k,BC=qとしたとき,長方形ができる条件は,AR=xとして,
k:x=(q-x):2k,すなわちx^2-qx+2k^2=0…[*]であり,
長方形の面積をSとすると,S=3kq-kx-2k(q-x)=k(x+q)だから,x=S/k-q.
[*],すなわちk^2x^2-qk^2x+2k^4=0に代入して,
(S-kq)^2-kq(S-kq)+2k^4=0.
S^2-3kqS+2(k^2q^2+k^4)=0.
これの2解が60,111だから,3kq=171,k^2q^2+k^4=3330.
k>0に注意して,k=3,q=19を得ます.

そもそも[*]の段階で,xの2解の和がqであることは明らかなのに,
その時点では上記の方針に決めていて,
式の示唆する内容がまったく見えていませんでした.反省.

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしゃ、式をつくって計算させてしまいましたが…^^;
AR=SDになること...やっと気付けました…^^;v
中心から平行線までの距離が等しいからなんですねぇ☆
それがわかっても、[解答2]には気付けないなぁ…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
お盆ですので、ミソハギの写真を使いました。
我が家には盆花として使う習慣はありませんが、素朴ないい花ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
我が家には盆花として使う習慣はありません。
ミソハギというのはミソギハギという意味だそうですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
[解答2]は最初は意識していなかったのですが、
問題を作っているうちに面積の関係に気づきました。
こんな関係に気づけたのは大きな収穫でした。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
座標を使ってですが、私も最初は同じように考えました。
ただ、長方形の中心を原点にとり、
内側の長方形の外接円を描けば、中心が原点で、
対称性により、AR=SD(AR=BT)に気付きました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
AR=SD に気づくとだいぶ簡単になります。
答を出してからでないと面積の関係にはなかなか気づきませんね。

樹☆  
No title

ミツハギというのですか。。
夏はお花が限られてますから
可愛い花が咲くと嬉しいですね。