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[答920] 内接円との接点

ヤドカリ

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[答920] 内接円との接点


 △ABCの 辺BC,CA,ABと その内接円との接点をそれぞれ D,E,F とします。

 チェバの定理の逆により AD,BE,CF は1点で交わりますが、その交点をPとして、

 BP/BE=4/5,CP/CF=3/4 のとき、AP/AD=? また、BC:CA:AB=?


[解答1]

 AE=AF=a,BF=BD=b,CD=CE=c とします。

 メネラウスの定理により、(AP/PD)(DB/BC)(CE/EA)=1 、(AP/PD){b/(b+c)}(c/a)=1 、

 AP/PD=a(b+c)/bc 、AP:PD=a(b+c):bc 、AP:AD=AP:(AP+PD)=(ca+ab):(bc+ca+ab) 、

 AP/AD=(ca+ab)/(bc+ca+ab) 、

 同様に、BP/BE=(ab+bc)/(bc+ca+ab),CP/CF=(bc+ca)/(bc+ca+ab) になります。

 よって、AP/AD+BP/BE+CP/CF=2 になり、AP/AD+4/5+3/4=2 、AP/AD=9/20 です。

 次に、(ca+ab):(ab+bc):(bc+ca)=AP/AD:BP/BE:CP/CF=9/20:4/5:3/4=9:16:15 、

 ca+ab=9k,ab+bc=16k,bc+ca=15k とおけば、2(bc+ca+ab)=40k 、bc+ca+ab=20k 、

 bc=11k,ca=4k,ab=5k 、bc:ca:ab=11:4:5 です。

 (ca+ab):(ab+bc):(bc+ca)=9:16:15 と併せて、

 (ca+ab)bc:(ab+bc)ca:(bc+ca)ab=9・11:16・4:15・5 、

 (b+c):(c+a):(a+b)=99:64:75 、BC:CA:AB=99:64:75 になります。


[解答2]

 PD:AD=△PBD:△ABD=△PCD:△ACD=(△PBD+△PCD):(△ABD+△ACD)=△PBC:△ABC 、

 よって、△PBC=(PD/AD)△ABC 、同様に、△PCA=(PE/BE)△ABC ,△PAB=(PF/CF)△ABC です。

 △PCA=(PE/BE)△ABC=(1-BP/BE)△ABC=(1-4/5)△ABC=(1/5)△ABC 、

 △PAB=(PF/CF)△ABC=(1-CP/CF)△ABC=(1-3/4)△ABC=(1/4)△ABC 、

 △PBC=△ABC-△PCA-△PAB=(1-1/5-1/4)△ABC=(11/20)△ABC です。

 △PBC=(PD/AD)△ABC=(1-AP/AD)△ABC=(11/20)△ABC だから、AP/AD=9/20 です。

 BD:DC=△ABD:△ACD=△PDB:△PCD=(△ABD-△PDB):(△ACD-△PCD)=△PAB:△PCA 、

 よって、BD:DC=△PAB:△PCA=1/4:1/5=5:4 、

 同様に、CE:EA=△PBC:△PAB=11/20:1/4=11:5 、

 AF:FB=△PCA:△PBC=1/5:11/20=4:11 、

 AE=AF,BF=BD,CD=CE に注意して、BD:DC=55:44 ,CE:EA=44:20 ,AF:FB=20:55 、

 BC:CA:AB=(55+44):(44+20):(20+55)=99:64:75 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

クサギですね
高いところにあって~まじかで見たい花です。

ニリンソウ  
No title

ボタンクサギまだ見れますね。
お盆が往って今日からお仕事でしょうか
こちら雨になってます。

ナイス

樹☆  
No title

こんにちは
遠目には、あじさいと見間違えるように
美しいお花です。臭いのはいやですが。。

お盆休みはゆっくりお過ごしでしたか?

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
メネラウスの使い方がいまだよくわからず…^^;;
[解答2]っぽく、△EPC=1として、それぞれの面積比から…
各辺の比に戸惑いましたが…Pを通る各直線の1単位当たりの比率にその辺の比の全体を掛けたもの(ここに気付くまで時間かかりましたぁ^^;)が各辺の逆比になってることからやっと求まりました…but…面白かったです Orz☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
牡丹クサギが未だ咲いているのですネ
遠めには紫陽花に良く似た花ですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この花はそんなに高い所に咲いていたわけではありません。
間近でしっかり見ましたよ。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
此方も天気が悪いです。雨が降ったり止んだり。
蒸し暑いですが、気温が低いのが助かります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
近づいても臭くはないですよ。
色も整った形もいいと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
この問題では面積を使って求めるのが楽ですが、
メネラウスの定理も利用価値が高いです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
写真は少し前に撮りましたので、
まだ咲いているかどうかは不明ですが、
綺麗に咲いていました。
小さな花の集合体は見ごたえがありますね。