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3本の弦が1点で交わる条件とラングレーの問題

ヤドカリ

ヤドカリ



1つの円の3本の弦 AD,BE,CF が 1点で交わる条件を求めてみます。

 ADとCEの交点をL,CFとEAの交点をM,EBとACの交点をN とします。

 CL/LE=△CDA/△EAD=(CD・CA)/(ED・EA) であり、

 同様に、EM/MA=(EF・EC)/(AF・AC) ,AN/NC=(AB・AE)/(CB・CE) になり、

 (CL/LE)(EM/MA)(AN/NC)=(CD・EF・AB)/(ED・AF・CB) です。

 △ACEでチェバの定理により (CL/LE)(EM/MA)(AN/NC)=1 だから、(CD・EF・AB)/(ED・AF・CB)=1 、

  AB・CD・EF=BC・DE・FA です。

 次に、弧AB=a,弧BC=b,弧CD=c,弧DE=d,弧E=e,弧FA=f,a+b+c+d+e+f=s とすれば、

 弧に対する円周角はそれぞれ aπ/s,bπ/s,cπ/s,dπ/s,eπ/s,fπ/s になるので、

 円の半径をRとすれば、AB=2Rsin(aπ/s),BC=2Rsin(bπ/s),CD=2Rsin(cπ/s),

 DE=2Rsin(dπ/s),EF=2Rsin(eπ/s),FA=2Rsin(fπ/s) 、

 AB・CD・EF=BC・DE・FA に代入して

 2Rsin(aπ/s)・2Rsin(cπ/s)・2Rsin(eπ/s)=2Rsin(bπ/s)・2Rsin(dπ/s)・2Rsin(fπ/s) 、

  sin(aπ/s)sin(cπ/s)sin(eπ/s)=sin(bπ/s)sin(dπ/s)sin(fπ/s) です。


ラングレーの問題

 下左図はラングレーの問題(角θを求める)として有名なものです。

 有名な解法は、

 下中図のように、∠EBC=20゚ となるように、CD上に点Eをとれば、

  △BCAは二等辺三角形で BC=BA ,△BCEも二等辺三角形で BC=BE よって、BA=BE になり、

  △ABEは正三角形になって、EB=EA です。

  △EBDは二等辺三角形で EB=ED よって、EB=EA=ED になり、△ABDの外心がEです。

  よって、θ=∠ADB=∠AEB/2=60゚/2=30゚ です。

 素晴らしい方法ですが、このような補助線はなかなか思いつきません。

 3本の弦が1点で交わる条件を使うと計算でも求められます。

 下右図のように、円弧にその弧に対する円周角を書き込むと、

  sin20゚sin(50゚-θ)sin40゚=sin10゚sinθsin60゚ 、

  2sin10゚cos10゚sin(50゚-θ)sin40゚=sin10゚sinθsin60゚ 、

  2sin40゚cos10゚sin(50゚-θ)=sinθcos30゚ 、

  (sin50゚+sin30゚)sin(50゚-θ)=sinθcos30゚ 、

  sin50゚sin(50゚-θ)+(1/2)sin(50゚-θ)=sinθcos30゚ 、

  -(1/2)cos(100゚-θ)+(1/2)cosθ+(1/2)sin(50゚-θ)=sinθcos30゚ 、

  (1/2){sin(50゚-θ)+sin(10゚-θ)}=sinθcos30゚-cosθsin30゚ 、

  sin(30゚-θ)cos20゚=sin(θ-30゚) 、(cos20゚+1)sin(30゚-θ)=0 、θ=30゚ です。

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Comments 13

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ひとりしずか  
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オジギソウ~ピンクがいっそうかわいらしい・・

ニリンソウ  
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可愛い花咲かせましたね。
葉っぱをなでなでしたくなります、眠りますね。

ナイス

こっこちゃん  
No title

可愛いピンク色のオジギソウですね

優しい心に慣れますよね

お時宜してくれるなんて 嬉しいですね ナイス☆

さっちゃんこ  
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こんにちは
オジギソウが可愛いですネ
ブロ友さんに種を頂いたのですが上手く育てられませんでした

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
ラングレーの問題をこのような方法で解けるなんて!!
発想力の賜物ですね☆
惚れ惚れ♪
調べてみましたら…
http://www.phoenix-c.or.jp/~tokioka/Langley/Langley.pdf
に似た感じのものを見つけました☆
考えたこともなかったです ^^…Orz

ヤドカリ  
No title


お気づきのでしょうか?
この記事は、
明日の[922]の解答説明の準備です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
オジギソウは触れると葉が閉じるので有名ですが、
丸いピンクの花も美しいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
葉っぱに触れないように撮りました。
英語で touch-me-not は種の弾ける鳳仙花や釣舟草をいいますが、
御辞儀草も touch-me-not だそうです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントをありがとうございます。
ピンクの花を見ると優しい気持ちになりますね。
触れると反応してくれるのが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は、4月ごろに浅く種をまいて毎年育てていましたが、
忘れた年があって、次の年から芽が出なくなりました。
今年は久しぶりに苗を買ってきて育てています。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
上手く関連のサイトを見つけますね。
貴殿の検索の能力にはいつも驚きます。
私はこの方法を何かで見て知っていましたが、
明日の[922]の解答説明に使うためにまとめました。

樹☆  
No title

こんばんは
オジギソウはほんとに可愛いお花ですね。
この花はやどかりさんちに咲いたのですか?
少し触れただけで閉じてしまう防御って
すごいなぁと感心します。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私が世話しているのはペットのヤドカリとオジギソウです。
動きが肉眼で見える植物は少ないですね。