[答922] 円の内部の点と角

[答922] 円の内部の点と角


　円周上に 弧AB：弧BC：弧CD：弧DE：弧EA＝6：17：20：11：12 となるように 点A，B，C，D，Eをとり、

　線分BDとCEの交点をPとするとき、∠APE＝？


[解答1]

　APの延長と円の交点をF，弧CF＝c ，弧FD＝d とすれば、c＋d＝20 ，6＋17＋c＋d＋11＋12＝66 です。

　３本の弦が１点で交わる条件( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2523.html )より、

　sin(6π/66)sin(cπ/66)sin(11π/66)＝sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(12π/66) 、

　2sin(π/11)sin(cπ/66)sin(π/6)＝2sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(2π/11) 、

　sin(π/11)sin(cπ/66)＝4sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(π/11)cos(π/11) 、

　sin(cπ/66)＝4cos(8π/33)cos(3π/33)sin(dπ/66)＝2｛cos(11π/33)＋cos(5π/33)｝sin(dπ/66) 、

　sin(cπ/66)＝sin(dπ/66)＋2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、

　sin(cπ/66)－sin(dπ/66)＝2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、

　2cos｛(c＋d)π/132｝sin｛(c－d)π/132｝＝2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、

　cos(5π/33)sin｛(c－d)π/132｝＝cos(5π/33)sin(dπ/66) 、sin｛(c－d)π/132｝＝sin(dπ/66) 、

　(c－d)π/132，dπ/66 は鋭角だから、(c－d)π/132＝dπ/66 、c＝3d 、

　c＋d＝20 と連立し、c＝15，d＝5 です。

　∠APE＝∠ACE＋∠CAF＝12π/66＋cπ/66＝27π/66＝9π/22 です。


[解答2]

　円周の 1/66 の弧の円周角は π/66 ですので、

　∠ADB＝π/11，∠CAD＝10π/33，∠DCE＝π/6，∠ECA＝2π/11 です。

　また、∠ACD＝∠ADC＝23π/66 だから、AC＝AD です。

　次に、△ACDの外部に正三角形ADQを描くと、１つの内角は π/3 です。

　ここで、∠CAQ＝∠CAD＋∠DAQ＝10π/33＋π/3＝7π/11 、

　AC＝AQ より ∠ACQ＝∠AQC＝(π－∠CAQ)/2＝(π－7π/11)/2＝2π/11＝∠ECA となって、

　E，Pは線分CQ上にあることになります。

　∠PQD＝∠AQD－∠AQP＝∠AQD－∠AQC＝π/3－2π/11＝5π/33 、

　∠QDP＝∠QDA＋∠ADB＝π/3＋π/11＝14π/33 、

　∠QPD＝π－∠PQD－∠QDP＝π－5π/33－14π/33＝14π/33＝∠QDP となって、QP＝QD＝QA です。

　よって、∠APE＝∠APQ＝(π－∠AQP)/2＝(π－∠AQC)/2＝(π－2π/11)/2＝9π/22 になります。


[参考]

　四角形PABCにおいて、∠ABP＝23π/66 ，∠PBC＝10π/33 ，∠BCA＝π/11 ，∠ACP＝2π/11

　として、∠CAP＝cπ/66 を 求める問題にすると、ラングレーの問題(Langley's Problem)です。

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