[答922] 円の内部の点と角
[答922] 円の内部の点と角
円周上に 弧AB:弧BC:弧CD:弧DE:弧EA=6:17:20:11:12 となるように 点A,B,C,D,Eをとり、
線分BDとCEの交点をPとするとき、∠APE=?
[解答1]
APの延長と円の交点をF,弧CF=c ,弧FD=d とすれば、c+d=20 ,6+17+c+d+11+12=66 です。
3本の弦が1点で交わる条件( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2523.html )より、
sin(6π/66)sin(cπ/66)sin(11π/66)=sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(12π/66) 、
2sin(π/11)sin(cπ/66)sin(π/6)=2sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(2π/11) 、
sin(π/11)sin(cπ/66)=4sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(π/11)cos(π/11) 、
sin(cπ/66)=4cos(8π/33)cos(3π/33)sin(dπ/66)=2{cos(11π/33)+cos(5π/33)}sin(dπ/66) 、
sin(cπ/66)=sin(dπ/66)+2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、
sin(cπ/66)-sin(dπ/66)=2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、
2cos{(c+d)π/132}sin{(c-d)π/132}=2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、
cos(5π/33)sin{(c-d)π/132}=cos(5π/33)sin(dπ/66) 、sin{(c-d)π/132}=sin(dπ/66) 、
(c-d)π/132,dπ/66 は鋭角だから、(c-d)π/132=dπ/66 、c=3d 、
c+d=20 と連立し、c=15,d=5 です。
∠APE=∠ACE+∠CAF=12π/66+cπ/66=27π/66=9π/22 です。
[解答2]
円周の 1/66 の弧の円周角は π/66 ですので、
∠ADB=π/11,∠CAD=10π/33,∠DCE=π/6,∠ECA=2π/11 です。
また、∠ACD=∠ADC=23π/66 だから、AC=AD です。
次に、△ACDの外部に正三角形ADQを描くと、1つの内角は π/3 です。
ここで、∠CAQ=∠CAD+∠DAQ=10π/33+π/3=7π/11 、
AC=AQ より ∠ACQ=∠AQC=(π-∠CAQ)/2=(π-7π/11)/2=2π/11=∠ECA となって、
E,Pは線分CQ上にあることになります。
∠PQD=∠AQD-∠AQP=∠AQD-∠AQC=π/3-2π/11=5π/33 、
∠QDP=∠QDA+∠ADB=π/3+π/11=14π/33 、
∠QPD=π-∠PQD-∠QDP=π-5π/33-14π/33=14π/33=∠QDP となって、QP=QD=QA です。
よって、∠APE=∠APQ=(π-∠AQP)/2=(π-∠AQC)/2=(π-2π/11)/2=9π/22 になります。
[参考]
四角形PABCにおいて、∠ABP=23π/66 ,∠PBC=10π/33 ,∠BCA=π/11 ,∠ACP=2π/11
として、∠CAP=cπ/66 を 求める問題にすると、ラングレーの問題(Langley's Problem)です。
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