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[答922] 円の内部の点と角

ヤドカリ

ヤドカリ



[答922] 円の内部の点と角


 円周上に 弧AB:弧BC:弧CD:弧DE:弧EA=6:17:20:11:12 となるように 点A,B,C,D,Eをとり、

 線分BDとCEの交点をPとするとき、∠APE=?


[解答1]

 APの延長と円の交点をF,弧CF=c ,弧FD=d とすれば、c+d=20 ,6+17+c+d+11+12=66 です。

 3本の弦が1点で交わる条件( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2523.html )より、

 sin(6π/66)sin(cπ/66)sin(11π/66)=sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(12π/66) 、

 2sin(π/11)sin(cπ/66)sin(π/6)=2sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(2π/11) 、

 sin(π/11)sin(cπ/66)=4sin(17π/66)sin(dπ/66)sin(π/11)cos(π/11) 、

 sin(cπ/66)=4cos(8π/33)cos(3π/33)sin(dπ/66)=2{cos(11π/33)+cos(5π/33)}sin(dπ/66) 、

 sin(cπ/66)=sin(dπ/66)+2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、

 sin(cπ/66)-sin(dπ/66)=2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、

 2cos{(c+d)π/132}sin{(c-d)π/132}=2cos(5π/33)sin(dπ/66) 、

 cos(5π/33)sin{(c-d)π/132}=cos(5π/33)sin(dπ/66) 、sin{(c-d)π/132}=sin(dπ/66) 、

 (c-d)π/132,dπ/66 は鋭角だから、(c-d)π/132=dπ/66 、c=3d 、

 c+d=20 と連立し、c=15,d=5 です。

 ∠APE=∠ACE+∠CAF=12π/66+cπ/66=27π/66=9π/22 です。


[解答2]

 円周の 1/66 の弧の円周角は π/66 ですので、

 ∠ADB=π/11,∠CAD=10π/33,∠DCE=π/6,∠ECA=2π/11 です。

 また、∠ACD=∠ADC=23π/66 だから、AC=AD です。

 次に、△ACDの外部に正三角形ADQを描くと、1つの内角は π/3 です。

 ここで、∠CAQ=∠CAD+∠DAQ=10π/33+π/3=7π/11 、

 AC=AQ より ∠ACQ=∠AQC=(π-∠CAQ)/2=(π-7π/11)/2=2π/11=∠ECA となって、

 E,Pは線分CQ上にあることになります。

 ∠PQD=∠AQD-∠AQP=∠AQD-∠AQC=π/3-2π/11=5π/33 、

 ∠QDP=∠QDA+∠ADB=π/3+π/11=14π/33 、

 ∠QPD=π-∠PQD-∠QDP=π-5π/33-14π/33=14π/33=∠QDP となって、QP=QD=QA です。

 よって、∠APE=∠APQ=(π-∠AQP)/2=(π-∠AQC)/2=(π-2π/11)/2=9π/22 になります。


[参考]

 四角形PABCにおいて、∠ABP=23π/66 ,∠PBC=10π/33 ,∠BCA=π/11 ,∠ACP=2π/11

 として、∠CAP=cπ/66 を 求める問題にすると、ラングレーの問題(Langley's Problem)です。

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Comments 14

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樹☆  
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おはようございます
モミジアオイでしょうか。青い空に映えますね。

昨日は処暑でした。
少し暑さは収まるのでしょうか。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪

モミジアオイの赤が強烈ですね
青い空が良く似合う花ですね!!

ナイス♪

ひとりしずか  
No title

モミジアオイ近所でも咲いています。
大輪で深紅の花は目立ちます。

uch*n*an  
No title

最初,初等幾何でできるだろうと思ってしばし考えたのですが,分からず。
仕方ないので,座標か三角関数かな,と思い,取り敢えず三角関数でやったら,
[解答1]と同じになってうまく解けました。結構すごい式で,いろいろ公式を使うのですが,
数値設定に助けられてか計算は思ったよりは楽でスルスルと解けた感じです。
その後もどこかに相似を見つけるのかなと初等幾何を考えたものの,結局分からず。
AC = AD にはすぐに気付きましたが,正三角形という発想はなかったです。
ラングレーの問題が隠れていたとは。ここまでは思ってもみなかったです。

ニリンソウ  
No title

この赤がいいですよね~
和の赤です、本物って感じ。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは...まっこといいかげんに求めちゃいました…^^;
色々なところが等しい図ができたので…
APを延長した点とDの円弧は5になるに違いないと想定(なんの根拠もなし ^^;;)し...あとは円弧の長さで計算…
対称と想定して…66-23-16=27
(27/66)*180=27*30/11=810/11 °
なっは…めんご Orz...

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
モミジアオイの赤は鮮やかですね。
青い空に映えて綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
強烈な赤が青空をバックに咲いていました。
夏の長い期間、咲いてくれているのもいいですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
大きな真赤な花で、花弁の形が違うものの、
赤いハイビスカスを連想します。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
私は今までラングレーの問題を出題したことがないと思います。
思わぬ解き方があって、気づかない恐れがあるからです。
ただ、三角方程式が解ければ解けますので、
関連付けて問題と記事にしました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
私には「和の赤」という言葉は浮かびませんでしたが、
なるほど、言われてみればそのように思えます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
図形としては単純で、求めにくい問題でした。
難しかったと思います。

こっこちゃん  
No title

真赤な もみじアオイで

眼がパッチリになりましたよ

今か眠りますよ (笑) ナイス☆

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントをありがとうございます。
モミジアオイの色は鮮やかですね。
台風には十分にご注意を!