[答924] 勝敗を表す順列の数

'


[答924] 勝敗を表す順列の数


　Ａ,Ｂの２人が、どちらかが６勝するまで試合を続け、勝者を決めるとき、その勝敗は何通り？

　ただし、引き分けはないものとします。

　例えば「ＢＡＡＡＢＡＡＢＡ」のような、勝った者を順に並べる順列の総数として求めて下さい。


[解答1]

　Ａが勝者となるのは最後の試合でＡが勝つことになります。

　他の５勝が何試合目かを考えて、

　₅Ｃ₅＋₆Ｃ₅＋₇Ｃ₅＋₈Ｃ₅＋₉Ｃ₅＋₁₀Ｃ₅＝1＋6＋21＋56＋126＋252＝462 、

　Ｂが勝者となる場合の数も等しいので、 462･2＝924 通りです。

　なお、 0，1，2，……，10 のうち ６個の数を選ぶのに 最大数が n である場合の数は _nＣ₅ だから、

　₅Ｃ₅＋₆Ｃ₅＋₇Ｃ₅＋₈Ｃ₅＋₉Ｃ₅＋₁₀Ｃ₅＝₁₁Ｃ₆＝462 とすれば計算が早いです。


[解答2]

　最大でも 11試合で終わりますので、11試合の試合日程を組んでおき、勝敗表を作ります。

　例えば「ＢＡＡＡＢＡＡＢＡ」は「ＢＡＡＡＢＡＡＢＡ××」と表すことができます。

　Ａが勝者となる場合は、11試合のうち、Ａが勝つ６試合を選ぶことになります。

　( 選ばれない５試合のうち、Ａの最後の勝利より前はＢの勝利，Ａの最後の勝利の後は試合なしです )

　Ｂが勝者となる場合の数も等しいので、 ₁₁Ｃ₆･2＝924 通りです。


[解答3]

　Ａを６個，Ｂを６個並べる順列から、最後の文字と同じ文字を 最後に並んでいるだけ消します。

　例えば「ＢＡＡＡＢＡＡＢＡＢＢＢ」は最後がＢですが、最後に並んでいるＢを消すと、

　「ＢＡＡＡＢＡＡＢＡ」になり、片方が６勝するまでの勝敗を表す順列になります。

　逆に、勝敗を表す順列の最後の文字と異なる文字を最後にいくつか付加して、

　12字の順列にすれば、Ａを６個，Ｂを６個並べる順列になります。

　よって、 ₁₂Ｃ₆＝924 通りです。

.