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[答925] 複素数の絶対値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答925] 複素数の絶対値


 z1=1,zn+1=1/zn+2i (n=1,2,3,……) で与えられる数列{zn}があります。

 この数列において、|z1・z2・z3・……・z22|2=?


[解答1]

 zn+1-i=1/zn+i=(1+izn)/zn

 1/(zn+1-i)=zn/(1+izn)=-izn/(zn-i)=-i+1/(zn-i) 、

 数列{1/(zn-i)}は 公差が -i の等差数列となり、

 1/(zn-i)=1/(z1-i)-(n-1)i=1/(1-i)-(n-1)i=(1+i)/2-(n-1)i={1-(2n-3)i}/2 、

 zn-i=2/{1-(2n-3)i}=2{1+(2n-3)i}/{1+(2n-3)2}={1+(2n-3)i}/(2n2-6n+5) 、

 zn={1+(2n-3)i}/(2n2-6n+5)+i={1+(2n2-4n+2)i}/(2n2-6n+5) 、

 |zn|2={1+(2n2-4n+2)2}/(2n2-6n+5)2

 ここで、

 1+(2n2-4n+2)2=4(n-1)4+1=4(n-1)4+4(n-1)2+1-4(n-1)2

  ={2(n-1)2+1}2-{2(n-1)}2=(2n2-4n+3)2-(2n-2)2=(2n2-2n+1)(2n2-6n+5) だから、

 |zn|2=(2n2-2n+1)/(2n2-6n+5) です。

 f(n)=2n2-2n+1 とおけば f(n-1)=2(n-1)2-2(n-1)+1=2n2-6n+5 なので、

 |zn|2=f(n)/f(n-1) 、n=1,2,3,……,n として 乗じると、|z1・z2・z3・……・zn|2=f(n)/f(0)=f(n) 、

 |z1・z2・z3・……・z22|2=f(22)=925 です。


[解答2] たけちゃんさんの解答より

 z1・z2・z3・……・zn=pn とおく.ただし, p0=1 と定める.

 pn+1=pnzn+1=pn(1/zn+2i)=pn-1+2i・pn

 pn+1-i・pn=i・pn+pn-1=i(pn-i・pn-1) .

 これより, pn+1-i・pn=in(p1-i・p0)=in(1-i) を得る.

 pn+1/in+1-pn/in=(1-i)/i=-(1+i) となるから,

 pn/in=p0/i0-(1+i)n=1-(1+i)n=(1-n)-i・n ,

 したがって,|pn|2=(n-1)2+n2

 求めるものは,|p22|2=212+222=925 .

.

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Comments 13

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スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
なるほど☆
わたしゃ…わからず、ちまちまと(辛抱して)逆算で珍しく間違わず求めましたが…^^;;
[解答2]は巧い(自然な!!)発想で効率いいですね☆
>p0=1
は、
p1=1
>i^n(p1-i・p0)
は、
i^(n-1)(p2-i*p1)=i^(n-1)(1-i)
でいいような…?

こんな複素数列は考えたこともなかったです♪

ひとりしずか  
No title

黒い実と白い花が対照的で・・

ニリンソウ  
No title

ヤブミョウガこの辺では見れませんね。
お友達のブログで知ってたので
遠出したとき見かけてすぐわかりました。

ナイス

ヤドカリ  
No title

> 2015/9/4(金) 午前 8:05の鍵コメ様
早速の鍵コメントをありがとうございます。
仰る通り、コピペして訂正するのを忘れたミスでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
それでもいいのですが、
0番目とn番目を比べてn乗とする方が、
1番目とn番目を比べて(n-1)乗とするより美しいと思われませんか?

樹☆  
No title

こんばんは
小さな可愛いお花ですね。蕾もいっぱい。
ニリンソウさんが「ヤブミョウガ」だと。。
黒い実も面白いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真には色が綺麗に写っていませんが、黒でなく濃紺です。
実と花の両方が見られるいい時期に出会いました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
そちらでは気候が合わないのでしょうか?
それでも、ヤブミョウガをご存じなのですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花は白くて小さい可愛いものです。
もう終わっているかと思っていましたが、花と実の両方を見られて、
得した気分です。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
ヤブミョウガの白い花と黒い実が対照的で面白いですネ
私は今年は一度も写真に撮れませんでした
ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
たしかに美しさは損なわれちゃいますが…^^;
Poはどこにも定義されてないので…恣意的?に定義していいもなのかどうかわからないわたしです…^^;; Orz~

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
ヤブミョウガの花も実も見たことがあるのですが、
両方を同時に見たのはこれまでの記憶にありません。
初めてのことで、写真に撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントをありがとうございます。
p0=1 と定めるのは、0!=1 や 0乗が1 と定義されているのと同じで、
私はごく自然なことだと思います。
積で定義される関数では、何も掛けない状態は1が自然です。