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[答926] 球の一部と円錐

ヤドカリ

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[答926] 球の一部と円錐


 図は直径が 51 の球の一部Aと円錐Bと組み合わせた立体で、円錐の母線は球面と接しています。

 Aの部分とBの部分の表面積が等しいときのこの立体の体積は?


[解答]

 半径が r の球は 円 x2+y2=r2 を x軸の周りに回転させてできます。

 そのうちの a≦x≦b (-r≦a<b≦r) の部分について、

 体積は π∫ab y2dx=π∫ab (r2-x2)dx=π{r2[x]ab-(1/3)[x3]ab}

  =(π/3)(b-a)(3r2-b2-ab-a2) になり、

 x2+y2=r2 を xで微分すると 2x+2yy'=0 より yy'=-x だから、

 表面積は 2π∫ab y√{1+(y')2}dx=2π∫ab √{y2+(yy')2}dx=2π∫ab √{y2+(-x)2}dx=2πr∫ab dx

  =2πr(b-a) になります。

 母線とこの円の接点を(p,q) (p>0,q>0)とすれば、接線は px+qy=r2 だから、(r2/p,0)で x軸と交わります。

 (母線の長さ)2=(r2/p-p)2+q2=r4/p2-2r2+p2+q2=r4/p2-r2=(r2/p2)(r2-p2)=q2r2/p2 だから、

 (母線の長さ)=qr/p です。

 よって、体積と 半径がqの円を除く表面積は次のようになります。

 Aの体積 (π/3)(p+r)(3r2-p2+pr-r2)=(r+p)2(2r-p)π/3

 Bの体積 (π/3)q2(r2/p-p)=(r2-p2)2π/(3p)=(r+p)2(r-p)2π/(3p)

 Aの表面積 2πr(p+r)

 Bの表面積 πq2r/p=π(r2-p2)r/p=π(r+p)(r-p)r/p

 AとBの表面積が等しいとき、2πr(p+r)=π(r+p)(r-p)r/p 、2=(r-p)/p 、p=r/3 、

 立体の体積は、

 (r+p)2(2r-p)π/3+(r+p)2(r-p)2π/(3p)=(r+p)2{(2r-p)p+(r-p)2}π/(3p)

  =(r+p)2r2π/(3p)=(r+r/3)2rπ=16r3π/9 です。

 本問では、2r=51 ですので、16r3π/9=2(2r)3π/9=2・513π/9=29478π=92607.868…… です。


[参考]

 体積を求めるとき、下図のように、

 Aが球の中心まで円錐状にくぼんだ立体,Bが2つの円錐を合わせたものと考えれば、

 Aの球面の部分の面積は 2πr(p+r)=2πr(r/3+r)=8πr2/3 だから、

 Aの体積は、底面積が 8πr2/3 で 高さが r の円錐の体積と等しく、8πr3/9 、

 Bの体積は、底面積が πq2=π(r2-p2)=π(r2-r2/9)=8πr2/9 ,

 高さが r2/p=r2/(r/3)=3r の円錐の体積と等しく、8πr3/9 です。

 両方の体積が等しく、合わせた体積は 2・8πr3/9=16πr3/9 です。

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Comments 13

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ひとりしずか  
No title

タヌキマメのようですね・・・
毛にかこまれた萼(?)のなかから青い花がかわいいですね~

ニリンソウ  
No title

植物園ですか~
珍しいですねまだ見たことないんです。
山で咲くのかな?

ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪

初めて見る花ですがブルーの色が良いですね~

はなの形はブルーキャッツアイに良く似ていますね♪

ナイス♪

アキチャン  
No title

こんにちわ。
見たことがあるような・・・きれいな色ですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title


写真の花はタヌキマメです。
タヌキマメは東北地方以西に分布し、
日当たりが良く湿り気のある草地に生えます。
狸豆の名は、
花後実るサヤが茶色の毛で覆われた萼に包まれる様子からと、
花が狸の顔のように見えるからという説があります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、タヌキマメです。
萼の毛の中に咲く青い花が印象的でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
花の文化園で見たものですが、
上記のように東北地方以西に分布しているようです。
此方では絶滅が危惧されています。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
紫がかった花は多いのですが、青は意外に少ないですね。
よく見かけるのはオオイヌノフグリとツユクサでしょうか。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
分布から言えばご覧になったことがあっても不思議でないです。
スッキリした青い色がいいですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
球の表面積は以前のやどかりさんの記事で同じ半径の円柱のものと等しいことを覚えていたので p=r/3はすぐ求められたのですが…体積は積分かぁとしばし嘆息してましたが、[参考]♪に気付けたので計算始めたのですが、何度も間違えてしまいました ^^; Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
球の表面積は不思議と言えば不思議ですね。
計算は 51/2 は最後に代入ですね。

樹☆  
No title

あら・・これもかわいい。
この色好きです。
まるで・・イガグリの中から、かわいいツユクサが
顔出した・・って感じです。♫

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰るようにツユクサの青い色を思い出します。
イガクリはちょっと大げさかなぁ。