[答927] 青球赤球と箱
[答927] 青球赤球と箱
12個の箱があり、それぞれの箱に青球が 1個,2個,3個,……,12個入っています。
12個の赤球を何個かの箱に分けて入れ、箱の中の球を 2個,3個,4個,……,13個にするとき、
1箱に入れる赤球を最大3個として、12個の赤球を入れる方法は何通り?
[解答]
箱と赤球をn個,最初に入っている箱の中の青球の個数を 1個,2個,3個,……,n個 とし、
箱の中の球の個数が 2個,3個,4個,……,(n+1)個 になるように、1箱の赤球を最大3個として、
赤球n個を何個かの箱に分けて入れる方法を Tn 通りとし、T12 を求めます。
13個の球が入っている箱を作るのに 次の3種類の方法があります。
青球12個の箱に赤球1個を入れる場合が T11 通り、
青球11個の箱に赤球2個を入れる場合は 青球12個の箱に赤球を入れられないので T10 通り、
青球10個の箱に赤球3個を入れる場合は 青球11個,12個の箱に赤球を入れられないので T9 通り、
よって、T12=T11+T10+T9 になり、同様に、Tn=Tn-1+Tn-2+Tn-3 が成り立ちます。
T1=1 ,T2=2 ,T3=4 ですので、T4=T3+T2+T1=7 ,T5=T4+T3+T2=13 ,T6=T5+T4+T3=24 ,
T7=T6+T5+T4=44 ,T8=T7+T6+T5=81 ,T9=T8+T7+T6=149 ,T10=T9+T8+T7=274 ,
T11=T10+T9+T8=504 ,T12=T11+T10+T9=927 だから、927通りになります。
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