[答927] 青球赤球と箱

[答927] 青球赤球と箱


　12個の箱があり、それぞれの箱に青球が 1個，2個，3個，……，12個入っています。

　12個の赤球を何個かの箱に分けて入れ、箱の中の球を 2個，3個，4個，……，13個にするとき、

　１箱に入れる赤球を最大３個として、12個の赤球を入れる方法は何通り？


[解答]

　箱と赤球をｎ個，最初に入っている箱の中の青球の個数を 1個，2個，3個，……，n個 とし、

　箱の中の球の個数が 2個，3個，4個，……，(n＋1)個 になるように、１箱の赤球を最大３個として、

　赤球ｎ個を何個かの箱に分けて入れる方法を T_n 通りとし、T₁₂ を求めます。

　13個の球が入っている箱を作るのに 次の３種類の方法があります。

　青球12個の箱に赤球１個を入れる場合が T₁₁ 通り、

　青球11個の箱に赤球２個を入れる場合は 青球12個の箱に赤球を入れられないので T₁₀ 通り、

　青球10個の箱に赤球３個を入れる場合は 青球11個，12個の箱に赤球を入れられないので T₉ 通り、

　よって、T₁₂＝T₁₁＋T₁₀＋T₉ になり、同様に、T_n＝T_n-1＋T_n-2＋T_n-3 が成り立ちます。

　T₁＝1 ，T₂＝2 ，T₃＝4 ですので、T₄＝T₃＋T₂＋T₁＝7 ，T₅＝T₄＋T₃＋T₂＝13 ，T₆＝T₅＋T₄＋T₃＝24 ，

　T₇＝T₆＋T₅＋T₄＝44 ，T₈＝T₇＋T₆＋T₅＝81 ，T₉＝T₈＋T₇＋T₆＝149 ，T₁₀＝T₉＋T₈＋T₇＝274 ，

　T₁₁＝T₁₀＋T₉＋T₈＝504 ，T₁₂＝T₁₁＋T₁₀＋T₉＝927 だから、927通りになります。

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