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[答928] 内接円と線分の比

ヤドカリ

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[答928] 内接円と線分の比


 BC=19,CA=17,AB=20 である △ABCの内接円と辺BCとの接点をLとし、直径をLPとします。

 APの延長と BCの交点をQ とするとき、AP:AQ=?


[解答1]

 AからBCにおろした垂線の足をH とすれば、AP:AQ=HL:HQ です。

 内接円と辺CA,辺ABとの接点をそれぞれ M,N とし、

 Pを通り BCと平行な直線と 辺AB,ACとの交点をそれぞれ D,E とします。

 まず、BN=BL=(BA+BC-CA)/2=(20+19-17)/2=11 になります。

 また、三平方の定理により、AH2=AB2-BH2=AC2-HC2

 HC=BC-BH=19-BH だから、202-BH2=172-(19-BH)2

 400-BH2=289-361+38BH-BH2 、38BH=472 、BH=236/19 です。

 次に、AN=AD+DN=AD+DP ,AM=AE+EM=AE+EP ,AN=AM より、AD+DP=AE+EP です。

 AP=kAQ とおけば、

 △ADP∽△ABQ より AD=kAB,DP=kBQ 、△APE∽△AQC より AE=kAC,EP=kCQ 、

 AD+DP=AE+EP に代入すれば、kAB+kBQ=kAC+kCQ 、AB+BQ=AC+CQ 、20+BQ=17+CQ 、

 CQ=BC-BQ=19-BQ を代入して、20+BQ=17+19-BQ 、BQ=8 です。

 AP:AQ=HL:HQ=(BH-BL):(BH-BQ)=(236/19-11):(236/19-8)=9:28 です。


[解答2]

 Pを通り BCと平行な直線と 辺AB,ACとの交点をそれぞれ D,E とすれば、

 △ABCの内接円は △ADEの傍接円になりますので、

 Aを中心に △ADEが△ABCになるように拡大すれば、△ABCの内接円は△ABCの傍接円に拡大されます。

 ただし、傍接円は辺BCに接するものを意味するものとします。

 △ABCの面積をSとすれば、

 AP:AQ=(△ABCの内接円の半径):(△ABCの傍接円の半径)=2S/(BC+CA+AB):2S/(-BC+CA+AB)

  =(-BC+CA+AB):(BC+CA+AB)=(-19+17+20):(19+17+20)=18:56=9:28 です。


[解答3]

 座標平面上で A(a,b),B(0,0),C(19,0) とすれば、内心の座標は次のように求められます。

 (19(a,b)+17(0,0)+20(19,0))/(19+17+20)=((19a+380)/56,19b/56) です。

 よって、A,P,Q の y座標は順に b,2・19b/56,0 になり、

 AP:AQ=(b-2・19b/56):b=9b/28:b=9:28 です。


[解答4]

 △ABCの内心を I とすれば、△IBC:△ICA:△IAB=BC:CA:AB=19:17:20 だから、

 PQ:AQ=△PBC:△ABC=2△IBC:(△IBC+△ICA+△IAB)=2・19:(19+17+20)=19:28 、

 AP:AQ=(AQ-PQ):AQ=(28-19):28=9:28 です。

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Comments 11

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樹☆  
No title

おはようございます
秋らしい朝です。

サンゴジュですか?
たわわに実ってますね。かわいいです。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解法2]が素敵ですが、傍接円の半径の求め方がよくわかりません ^^;
ちなみにわたしは…
AP : AQ=AH-PL : AH
=2S(1/BC-2/(AB+BC+CA)) : 2S/BC
=(1/BC-2/(AB+BC+CA)) : 1/BC
=1/19-2/(19+17+20) : 1/19
=56-2*19 : 56
=18 : 56
=9 : 28
としました ^^ Orz~

ひとりしずか  
No title

↑サンゴジュ(珊瑚樹)の様ですネ
赤い実の塊が目立ちますネ
青い空に赤・・・秋なんですね~

たけちゃん  
No title

問題図を見て,すぐに[878]を思い出し,[解答2]と同様に解きました.
傍接円などを用いずとも,[解答4]で十分であることには後で気づきました.

傍接円の半径は,内接円の半径と類似の方法で求められます.
解答の右の図の円が,三角形ADEにとっての傍接円なので,この図で言えば,
傍心(円LMNの中心)をI,半径をrとして,
△ADE=△IAD+△IAE-△IDE=AD・r/2+AE・r/2-DE・r/2=r(AD+AE-DE)/2
ですね.

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
真っ赤な実が見事ですネ
小鳥が喜んで食べそうですね
ナイス☆彡

スモークマン  
No title

>たけちゃんさんへ ^^
傍接円の半径の求め方やっと、わかりました^^;v
入れ子状況なんですねぇ☆
面白い♪
なら…やっぱり[解法2]がエレガントだなぁ☆ Orz~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
珊瑚樹もよく見ますが、表面が汚れていることも多く、
被写体としてはイマイチでした。
綺麗な珊瑚樹と背景の青空が見事だったので撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、2度のコメントとナイス!をありがとうございます。
傍接円の半径の求め方と理由は、たけちゃんさんが書いてくれました。
1つの辺をマイナスと考えることで、傍接円は内接円と同じように扱えます。
ただ、傍接円を使うより、面積の方が単純に解けるという問題でした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
汚れのない珊瑚儒の実が綺麗でした。
青空が実の色を引き立ててくれたのがよかったと思います。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントと傍接円の半径の説明を有難うございます。
出題の日のリコメにも書きましたが、[878]と同時に作った問題で、
こちらのほうは傍接円を使うとかえって面倒になる問題でした。
ほとぼりの冷めた時期の出題です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
赤い実が青い空を背景に目立っていました。
晴れた日の昼下がり、いい被写体に出会えました。