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[答929] 条件を満たす自然数の個数と総和

ヤドカリ

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[答929] 条件を満たす自然数の個数と総和


 どんな自然数 m,n を使っても 59m+30n で表されない自然数の個数は? また、その総和は?


[解答1]

 1行目は 0,1,2,3,……,28,29 、2行目以下はそのすぐ上に書いてある数に 30 を加えた数

 というように、0以上の整数を書いた表を作り、不要な数(赤色)を消します。

 一番右の列は 29,59,89,…… であり、89=59+30 から下をすべて消します。

 右から2列目は 28,58,88,118,148,…… であり、148=59・2+30 から下をすべて消します。

 一般に、右からk列目は 1行目の数が 30-k であり、59k+30 から下をすべて消します。

 右からk列目に残った数は、30-k から 59k までの 2k 個で、

 その和は (30-k+59k)・2k/2=58k2+30k です。

 従って、k=1,2,……,30 としてその和を求めれば、

 残った数の個数は、2・(1/2)・30・31=930 、

 残った数の総和は、58・(1/6)・30・31・61+30・(1/2)・30・31=562340 になります。

 0を除いて、個数は 929個,総和は 562340 です。


[解答2] 数学的に

 59m+30n=A (Aは自然数) とすれば、59m+59A=60A-30n 、59(m+A)=30(2A-n) なので、

 m+A=30k,2A-n=59k (kは整数) とおけて、m=30k-A,n=2A-59k です。

 m>0,n>0 より、A/30<k<2A/59 、

 この範囲に 整数kが存在しないとき、Aはどんな自然数 m,n を使っても 59m+30n と表せません。

 A=30q+r (q,r は整数で、0≦q,0≦r≦29) とすれば、

 A/30<k<2A/59 より、(30q+r)/30<k<(60q+2r)/59 、q+r/30<k<q+(q+2r)/59 なので、

 q+2r≦59 のときに限り 整数kが存在しません。

 0≦q≦59-2r なので、0≦r≦29 である整数 r に対して q は 60-2r 個考えられます。

 個数は 60・30-2(0+1+2+……+29)=1800-(1+29)・29=930 、q=r=0 を除いて 929個です。

 また、q=0,1,2,……,59-2r の和は (59-2r)(60-2r)/2=2r2-119r+1770 、

 A=30q+r の和は 30(2r2-119r+1770)+r(60-2r)=58r2-3510r+53100 、

 よって、Aの総和は、

 58(02+122+……+292)-3510(0+1+2+……+29)+53100・30

  =58・29・30・59/6-3510・29・30/2+1593000=496190-1526850+1593000=562340 になります。

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Comments 11

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ひとりしずか  
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ルリトラノオでしょうか・・
花が咲き上って行くのですネ

ニリンソウ  
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おはようございます
これちょっとわかりません、ハーブの種類かな
新鮮な紫色ですね。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解答2]の方針で考えたものの、計算がスマートにできず何回も間違ってました ^^;;…Orz~
30(2m+n)-mから…
30*61-30=30*60以上は表せる=30*59+30+59+1
so…30*59+30+59がいわゆる表せない最大の数となるのですねぇ☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます!!
綺麗な水色の花
ブルーサルビアかな!?と思ったのですが一寸違うようですね!!
淡いブルーの色に癒されますね♪
ナイス♪

こっこちゃん  
No title

名前は詳しい方にお任せで

ブルーでさわやかですね ナイス☆

ヤドカリ  
No title


写真の花はトウテイラン(洞庭藍)です。
日本海側の海岸に野生するベロニカ属の多年草です。
水はけ・日当たりのよい場所を好み、
8~9月頃に花をつけます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ルリトラノオとも似ていますが、トウテイランです。
花がだんだん多く鮮やかになっていきます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
上に書きましたように、トウテイランです。
青紫色がよく目立っていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
30・59+30+59=30・60+59・1 と表わされます。
計算を注意深くしなければならない問題でした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
トウテイランという花です。
寒さに強くて毎年咲く育てやすい花なので市場に流通しないようです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
トウテイランという花です。
仰るように、ブルーの花は爽やかに感じます。