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[答931] 自然数の下1000桁

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答931] 自然数の下1000桁


 N=10001000・299991000999・299981000998・29997+……+10002・29110001・290


 で与えられる自然数Nの下1000桁の始まりの3桁と終わりの3桁は?


[解答]

 二項定理により、29N+1=29N+10000=(29+1)1000=301000

 N=(301000-1)/29 です。

 N=1+30+302+303+……+30999 ですので、下3桁が 931 であることはすぐに分かります。

 次に、N+1/29=301000/29 の小数部分は 1/29 で、

 1/29=0.03448275862068965517241379310344827586206896551724137931…… であり、

 循環節が28桁の純循環小数になります。

 29N+1=301000 だから、(29N+1)/101000=31000 も自然数で、

 31000 を 29 で割った余りを k とすれば、k≠0 だから、

 31000/29 の小数部分は k/29 になり、始まり位置を無視すれば同じ28桁の循環節をもちます。

 したがって、N+1/29 は下1000桁から循環していることになり、

 1000 を 28 で割った 商は 35 で 余りは 20 だから、

 Nの下1000桁は、循環節の下20桁である 86206896551724137931 の後に、

 循環節の 0344827586206896551724137931 を 35回繰り返したものです。

 よって、下1000桁の始まりの3桁は 862 、終わりの3桁は 931 です。

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Comments 16

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ひとりしずか  
No title

コムラサキかな・・
こちらは色濃くなっています!
先日シロシキブの実みつけました!

樹☆  
No title

おはようございます。
かわいいコムラサキですね。可憐なお花も観てみたかった。

こちらの雨は止みました。
大阪は雨では?

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
ちといい加減な考え方でした…^^;
熟読玩味ぃ~☆

この🌸はムラサキシキブ…かなぁ ^^…Orz

ニリンソウ  
No title

コムラサキが色付いていますね。
山のムラサキシキブはもうちょいです。

ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
No title

ムラサキシキブなんですか?
ピンク系ムラサキの色がいいですね。
実が本当に可愛いです。
ポチ☆

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
コムラサキ・紫式部 未だに区別が付きにくい私です
紫に色づいた実がとても奇麗ですね

此方でも一杯見かけますね
ナイス☆彡

アキチャン  
No title

こんばんわ。
私も撮りに行かなくちゃ(o^-^o)いい色ですよね♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、コムラサキです。
シロシキブの写真もありますので、明日は使おうと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花も以前にアップしました。
http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/35909697.html
ところで、此方も雨が止んできましたょ。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この問題は 1/29 の循環節に気づけばいいです。
写真の実はコムラサキ、ムラサキシキブとは種類が違いますが、
区別しないで、ムラサキシキブと言われることも多いです。
これからも、問題も写真も楽しんで下さい。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
ムラサキシキブの方は、私には見る機会がほとんどありません。
高貴な感じの紫色はいいですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ムラサキシキブと似ていますが、コムラサキの方が密集しています。
小さな実がたくさんついているのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ムラサキシキブはもっと実が少なく、枝に近いです。
そちらでもたくさん見られるようですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
撮るならもう少し鮮やかな紫の方がいいですね。
よく見かけますので、撮る機会も多いでしょう。

樹☆  
No title

そうなんです。
やどかりさんのブログで拝見した
可愛いお花。実はいつも見るのに花はこの目でまだ
観たことがないのです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントをありがとうございます。
実のできている場所を覚えておいて、
来年はぜひご覧ください。