[答932] 面積と対角線の長さ

[答932] 面積と対角線の長さ


　四角形ABCDの 辺AB，BC，CD，DAを一辺とする正方形を 四角形ABCDの外側に作り、

　その中心をそれぞれP，Q，R，Sとし、四角形PQRSを作ります。

　AC＝2，BD＝4 であるとき、四角形PQRSの面積の最大値は？ また、そのときの対角線PRの長さは？


[解答]

　複素平面で、A(α)，B(β)，C(γ)，D(δ)，P(p)，Q(q)，R(r)，S(s) とします。

　有向線分BAを Bを中心に 45ﾟ 回転し、1/√2 倍すると 有向線分BP になるので、

　p－β＝(α－β)(cos45ﾟ＋i･sin45ﾟ)/√2＝(α－β)(1＋i)/2 、

　p＝β＋(α－β)(1＋i)/2＝α(1＋i)/2＋β(1－i)/2 です。

　ここで、(1－i)/2＝Z とすれば、(1＋i)/2＝Zi ，|Z|＝1/√2 であり、

　p＝Z(iα＋β) 、同様に、q＝Z(iβ＋γ)，r＝Z(iγ＋δ)，s＝Z(iδ＋α) になります。

　よって、r－p＝Z(iγ＋δ－iα－β) ，s－q＝Z(iδ＋α－iβ－γ)＝(r－p)i 、

　これは、有向線分PRを 90ﾟ 回転し平行移動したものが 有向線分QS になることを示しています。

　従って、PR＝QS，PR⊥QS になり、四角形PQRSのの面積は PR²/2 です。

　次に、r－p＝Z(iγ＋δ－iα－β)＝Z｛(δ－β)＋(γ－α)i｝(1－i) だから、

　PR＝|r－p|＝|Z||(δ－β)＋(γ－α)i|＝|(δ－β)＋(γ－α)i|/√2 、

　これが最大になるのは、有向線分ACを90ﾟ回転させたものとBDが同じ方向のときで、

　|(δ－β)＋(γ－α)i|＝4＋2＝6 、PR＝6/√2＝3√2 、

　四角形PQRSの面積の最大値は PR²/2＝9 です。


[参考]

　PR＝QS，PR⊥QS になることは、オーベルの定理(コリニョンの定理)といいます。

　[652]四角形の面積( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1838.html )もご覧ください。

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