[答932] 面積と対角線の長さ
[答932] 面積と対角線の長さ
四角形ABCDの 辺AB,BC,CD,DAを一辺とする正方形を 四角形ABCDの外側に作り、
その中心をそれぞれP,Q,R,Sとし、四角形PQRSを作ります。
AC=2,BD=4 であるとき、四角形PQRSの面積の最大値は? また、そのときの対角線PRの長さは?
[解答]
複素平面で、A(α),B(β),C(γ),D(δ),P(p),Q(q),R(r),S(s) とします。
有向線分BAを Bを中心に 45゚ 回転し、1/√2 倍すると 有向線分BP になるので、
p-β=(α-β)(cos45゚+i・sin45゚)/√2=(α-β)(1+i)/2 、
p=β+(α-β)(1+i)/2=α(1+i)/2+β(1-i)/2 です。
ここで、(1-i)/2=Z とすれば、(1+i)/2=Zi ,|Z|=1/√2 であり、
p=Z(iα+β) 、同様に、q=Z(iβ+γ),r=Z(iγ+δ),s=Z(iδ+α) になります。
よって、r-p=Z(iγ+δ-iα-β) ,s-q=Z(iδ+α-iβ-γ)=(r-p)i 、
これは、有向線分PRを 90゚ 回転し平行移動したものが 有向線分QS になることを示しています。
従って、PR=QS,PR⊥QS になり、四角形PQRSのの面積は PR2/2 です。
次に、r-p=Z(iγ+δ-iα-β)=Z{(δ-β)+(γ-α)i}(1-i) だから、
PR=|r-p|=|Z||(δ-β)+(γ-α)i|=|(δ-β)+(γ-α)i|/√2 、
これが最大になるのは、有向線分ACを90゚回転させたものとBDが同じ方向のときで、
|(δ-β)+(γ-α)i|=4+2=6 、PR=6/√2=3√2 、
四角形PQRSの面積の最大値は PR2/2=9 です。
[参考]
PR=QS,PR⊥QS になることは、オーベルの定理(コリニョンの定理)といいます。
[652]四角形の面積( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1838.html )もご覧ください。
.