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[答932] 面積と対角線の長さ

ヤドカリ

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[答932] 面積と対角線の長さ


 四角形ABCDの 辺AB,BC,CD,DAを一辺とする正方形を 四角形ABCDの外側に作り、

 その中心をそれぞれP,Q,R,Sとし、四角形PQRSを作ります。

 AC=2,BD=4 であるとき、四角形PQRSの面積の最大値は? また、そのときの対角線PRの長さは?


[解答]

 複素平面で、A(α),B(β),C(γ),D(δ),P(p),Q(q),R(r),S(s) とします。

 有向線分BAを Bを中心に 45゚ 回転し、1/√2 倍すると 有向線分BP になるので、

 p-β=(α-β)(cos45゚+i・sin45゚)/√2=(α-β)(1+i)/2 、

 p=β+(α-β)(1+i)/2=α(1+i)/2+β(1-i)/2 です。

 ここで、(1-i)/2=Z とすれば、(1+i)/2=Zi ,|Z|=1/√2 であり、

 p=Z(iα+β) 、同様に、q=Z(iβ+γ),r=Z(iγ+δ),s=Z(iδ+α) になります。

 よって、r-p=Z(iγ+δ-iα-β) ,s-q=Z(iδ+α-iβ-γ)=(r-p)i 、

 これは、有向線分PRを 90゚ 回転し平行移動したものが 有向線分QS になることを示しています。

 従って、PR=QS,PR⊥QS になり、四角形PQRSのの面積は PR2/2 です。

 次に、r-p=Z(iγ+δ-iα-β)=Z{(δ-β)+(γ-α)i}(1-i) だから、

 PR=|r-p|=|Z||(δ-β)+(γ-α)i|=|(δ-β)+(γ-α)i|/√2 、

 これが最大になるのは、有向線分ACを90゚回転させたものとBDが同じ方向のときで、

 |(δ-β)+(γ-α)i|=4+2=6 、PR=6/√2=3√2 、

 四角形PQRSの面積の最大値は PR2/2=9 です。


[参考]

 PR=QS,PR⊥QS になることは、オーベルの定理(コリニョンの定理)といいます。

 [652]四角形の面積( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-1838.html )もご覧ください。

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Comments 14

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樹☆  
No title

おはようございます

女郎花・・すごくすてき。
暖かな日差しの中、優しい秋を感じます。

ひとりしずか  
No title

オミナエシの濃い目の色、小さな花の集まりが目を引きます。

uch*n*an  
No title

この問題は,最初に三角比+座標で比較的容易に解けたのですが,
解法として美しくないので初等幾何で再考したところ,論理的に勇み足があり,
□ABCD がひし形,□PQRS が正方形,に限定される結果になってしまいました。
しかし最初の解法の方に条件の見落としがあるのだろうと思っていました。
その後,やどかりさんの指摘を受けて勇み足の原因が分かり,
[解答]のような複素数での解法でも確認して,最初の解法で正しいと分かりました。
また,私も初等幾何で[参考]のことは示せましたが,問題自体の解法はうまくいっていません

なお,明日は若干予定が立て込んでいるので,参加できるか微妙です。
暗算で解ける問題なら答えだけになるかもです。悪しからず。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
面白い性質の定理ですねぇ☆
わたしも最初菱形(対角線が直交するとき)と早合点しましたが、直交してれば面積は同じで、計算したら対角線の長さも定数になったのでビックリしました ^^; OOrz~

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
十五夜に相応しい花ですネ
見事な女郎花に元気をもらえますね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
女郎花の黄色の花が沢山咲いていました。
夏から咲いていますが、やはり秋の花ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
女郎花の黄色は目立ちますね。
小さな花ですがたくさん集まると目を引きます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
直角の頂点を共有する2つの直角二等辺三角形の
底辺を2辺とする四角形の面積は、
二等辺三角形の等辺が一直線上に並ぶときに
最大になると私も一瞬そう思ってしまいました。
勘違いしやすいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
面白い性質だと私も思います。
菱形だと勘違いしやすいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
女郎花の花は野草ながら、鮮やかな色ですね。
十五夜の月も綺麗でした。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
女郎花、きれいですね~(o^-^o)
どうも、秋の花粉症になったようで、くしゃみがとまりません(>_<)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花粉症は何の花粉が原因となっているのでしょうか?
それとも、急に寒くなっての、くしゃみかも知れません。

ニリンソウ  
No title

女郎花長く咲いていますね。
今夜は満月、北の山では初冠雪の便り。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
女郎花は夏から秋にかけて長い間咲いてくれるのがいいです。
ところで、もう初冠雪ですか。季節がどんどん進んでいるのですね。