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[答933] 2つのグループ

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答933] 2つのグループ


 9人で2つのグループを作る方法は何通り?

 メンバーが1人でもグループと見なすこととし、どちらのグループにも属さない人がいてもいいものとします。


[解答1]

 一般化して、n人のうち何人かで2つのグループを作る方法の数をNとして求めます。

 k人を2つのグループに分ける方法は、特定の1人を決め、

 残りの (k-1)人について、特定の人と同じグループか否かで 2k-1 通り、

 全員が同じグループの場合を除いて 2k-1-1 通りです。

 k=1,2,3,……,n として、n人からグループに別れるk人を選んで2つのグループにする方法は

 N=n1・(20-1)+n2・(21-1)+n3・(22-1)+……+nn・(2n-1-1) になります。

 ここで、f(x)=(1+x)n-1 とおけば 2項定理より、

 f(x)=n1・x1n2・x2n3・x3+……+nn・xn なので、

 N=f(2)/2-f(1)=(3n-1)/2-(2n-1)=(3n+1)/2-2n です。

 本問では n=9 なので、N=(39+1)/2-29=9330 です。


[解答2]

 一般化して、n人で2つのグループを作る方法の数を求めます。

 グループ名を A,B と区別し、どちらのグループにも属さない人を グループ X とします。

 各人が A,B,X のどのグループに入るかは 3n 通り、

 そのうち、Aの人数が0になるのは 2n 通り、Bの人数が0になるのも 2n 通り、

 A,B両方の人数が0になるのは 1 通りだから、

 3n-(2n+2n-1)=3n+1-2・2n 通り、

 A,B の区別をなくせば、(3n+1-2・2n)/2=(3n+1)/2-2n 通りです。

 本問では n=9 なので、N=(39+1)/2-29=9330 です。


[参考]

 n人を3つのグループに分ける方法が

 (3n-3・2n+3)/3! 通りであることを既知のこととすれば、

 1人を加えて (n+1)人を3つのグループに分け、加えた1人を含まない2つのグループを作れば良いので、

 (3n+1-3・2n+1+3)/3!=(3n+1)/2-2n 通りです。

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Comments 12

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
吾亦紅、これでもバラ科ですね
渋い赤色が独特でしょうね、陽が当たってて赤みが増して
いいですね。

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます。

このお花見るたび歌を思い出します。
それほどインパクトがある歌詞でした。
そして、このお花も知ってもらえるように
なったでしょうね。

ひとりしずか  
No title

ワレモコウなぜか好きなんです~

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ますます秋の風情ですね(o^-^o)

ゆうこ つれづれ日記  
No title

うん???
このお花はワレモコウかしら?
「吾亦紅」と云う歌は夫が大好きだそうです。

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
ワレモコウがバラ科とは驚きですね。
華やかでないぶん、秋の風情に似合います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私は歌で知ったわけではないのですが、前から知っていました。
五十音順に並べると最後だからでしょうか?

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私にとっても何故か好きな花です。
派手でないからでしょうか。何となく気持ちの安らぎを感じる花です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
秋の風情を感じる花ですね。
花の多い春に咲いていたらもっと目立たないでしょう。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、吾亦紅の花です。
歌は聞いたことがあるようなないような……。

スモークマン  
No title

>グーテンアーベント ^^
残った人のグループを考えれば3つのグループにわける場合になることまでは考えたのですが、そこからどうやればいいのかわからず…^^;
場合分けでグチャグチャと…^^;;

[参考]のうまい考え方でいいことが俄にわからなかったり…Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
結局は3つのグループに分けるのですが、
最後のグループだけ0人でも良いので、
1人を加える発想も成り立ちます。