[答934] 円の接線と三角形の面積比
[答934] 円の接線と三角形の面積比
図のように 面積比が 3:4 の小円と大円が2点A,Bで交わっていて、
大円のAでの接線と小円の交点をA,C、小円のBでの接線と大円の交点をB,C、
2本の接線の交点をPとします。このとき、△CPB:△ACB:△ABD=?
[解答1]
PA=a,PB=b,PC=c,PD=d とします。
方冪の定理より a2=bd ,b2=ac ですので、
△CPB:△APB:△APD=bc:ab:ad=ab2c:a2b2:a2bd=b4:a2b2:a4=b4:(a2b2-b4):(a4-a2b2) 、
△CPB:△ACB:△ABD=b4:b2(a2-b2):a2(a2-b2) です。
ここで、接弦定理より ∠ACB=∠DBA,∠BAC=∠ADB だから、△ACB∽△DBA となります。
△ACB:△DBA=b2(a2-b2):a2(a2-b2)=b2:a2 、
この面積比は 小円と大円の面積比に等しいので、b2:a2=3:4 です。
よって、△CPB:△ACB:△ABD=b4:b2(a2-b2):a2(a2-b2)=9:3:4 です。
[解答2]
接弦定理より ∠ACB=∠DBA,∠BAC=∠ADB だから、△ACB∽△DBA となり、
この面積比は それぞれの外接円の面積比 3:4 になり、△ACB=(3/4)△DBA です。
また、接弦定理より ∠PBC=∠BAC=∠BDA だから、CB//AD となります。
PB上に B1 ,B2 ,B3 ,…… 、PC上に C1 ,C2 ,C3 ,…… を
CB1//AB ,CkBk//AD ,CkBk+1//AB を満たすようにとれば、
△PAD の面積は 初項が △DBA で 公比が 3/4 の無限等比級数の和となり、
△PAD=△DBA/(1-3/4)=4△DBA であり、
△CPB=△PAD-△ACB-△ABD=4△DBA-(3/4)△DBA-△DBA=(9/4)△DBA 、
△CPB:△ACB:△ABD=(9/4)△DBA:(3/4)△DBA:△DBA=9:3:4 です。
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