FC2ブログ

Welcome to my blog

[答934] 円の接線と三角形の面積比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答934] 円の接線と三角形の面積比


 図のように 面積比が 3:4 の小円と大円が2点A,Bで交わっていて、

 大円のAでの接線と小円の交点をA,C、小円のBでの接線と大円の交点をB,C、

 2本の接線の交点をPとします。このとき、△CPB:△ACB:△ABD=?


[解答1]

 PA=a,PB=b,PC=c,PD=d とします。

 方冪の定理より a2=bd ,b2=ac ですので、

 △CPB:△APB:△APD=bc:ab:ad=ab2c:a2b2:a2bd=b4:a2b2:a4=b4:(a2b2-b4):(a4-a2b2) 、

 △CPB:△ACB:△ABD=b4:b2(a2-b2):a2(a2-b2) です。

 ここで、接弦定理より ∠ACB=∠DBA,∠BAC=∠ADB だから、△ACB∽△DBA となります。

 △ACB:△DBA=b2(a2-b2):a2(a2-b2)=b2:a2

 この面積比は 小円と大円の面積比に等しいので、b2:a2=3:4 です。

 よって、△CPB:△ACB:△ABD=b4:b2(a2-b2):a2(a2-b2)=9:3:4 です。


[解答2]

 接弦定理より ∠ACB=∠DBA,∠BAC=∠ADB だから、△ACB∽△DBA となり、

 この面積比は それぞれの外接円の面積比 3:4 になり、△ACB=(3/4)△DBA です。

 また、接弦定理より ∠PBC=∠BAC=∠BDA だから、CB//AD となります。

 PB上に B1 ,B2 ,B3 ,…… 、PC上に C1 ,C2 ,C3 ,…… を

 CB1//AB ,CkBk//AD ,CkBk+1//AB を満たすようにとれば、

 △PAD の面積は 初項が △DBA で 公比が 3/4 の無限等比級数の和となり、

 △PAD=△DBA/(1-3/4)=4△DBA であり、

 △CPB=△PAD-△ACB-△ABD=4△DBA-(3/4)△DBA-△DBA=(9/4)△DBA 、

 △CPB:△ACB:△ABD=(9/4)△DBA:(3/4)△DBA:△DBA=9:3:4 です。

.

スポンサーサイト



Comments 8

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます!
今日も気持ちいい快晴の朝、”じゅろくだま”
正式名は何だっけ?
もう何十年もみていないです子供の頃に遊びましたよ。

ナイス

ひとりしずか  
No title

ジュズダマですよね!
熱帯アジア原産で稲の伝播とともに食用作物として渡来したとありました・・・
1度みかけたことがあったような~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは接弦定理に気付くまで時間かかり過ぎましたが…^^;
△PBC∽△PAB∽△PDA から、
△PBC=m として、
(m+3)/m=(m+7)/(m+3)
m(m+7)=(m+3)^2
m=9
ってな計算で求めました ^^v…Orz~

樹☆  
No title

こんにちは

これ・・見たことあるんだけど。。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
正式名はジュズダマです。
私も子供の頃にはよく見ましたが、今はあまり見かけません。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
見かけることもありますが、子供の頃にはよく見ました。
ジュズダマの名前はそのものズバリですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
接弦定理から相似な三角形が分かり、
比を使えば解ける問題ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この頃はあまり見かけませんが、子供の頃によく見ました。
糸を通した記憶もあります。