[答934] 円の接線と三角形の面積比

[答934] 円の接線と三角形の面積比


　図のように 面積比が 3：4 の小円と大円が２点A，Bで交わっていて、

　大円のAでの接線と小円の交点をA，C、小円のBでの接線と大円の交点をB，C、

　２本の接線の交点をPとします。このとき、△CPB：△ACB：△ABD＝？


[解答1]

　PA＝a，PB＝b，PC＝c，PD＝d とします。

　方冪の定理より a²＝bd ，b²＝ac ですので、

　△CPB：△APB：△APD＝bc：ab：ad＝ab²c：a²b²：a²bd＝b⁴：a²b²：a⁴＝b⁴：(a²b²－b⁴)：(a⁴－a²b²) 、

　△CPB：△ACB：△ABD＝b⁴：b²(a²－b²)：a²(a²－b²) です。

　ここで、接弦定理より ∠ACB＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB だから、△ACB∽△DBA となります。

　△ACB：△DBA＝b²(a²－b²)：a²(a²－b²)＝b²：a² 、

　この面積比は 小円と大円の面積比に等しいので、b²：a²＝3：4 です。

　よって、△CPB：△ACB：△ABD＝b⁴：b²(a²－b²)：a²(a²－b²)＝9：3：4 です。


[解答2]

　接弦定理より ∠ACB＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB だから、△ACB∽△DBA となり、

　この面積比は それぞれの外接円の面積比 3：4 になり、△ACB＝(3/4)△DBA です。

　また、接弦定理より ∠PBC＝∠BAC＝∠BDA だから、CB//AD となります。

　PB上に B₁ ，B₂ ，B₃ ，…… 、PC上に C₁ ，C₂ ，C₃ ，…… を

　CB₁//AB ，C_kB_k//AD ，C_kB_k+1//AB を満たすようにとれば、

　△PAD の面積は 初項が △DBA で 公比が 3/4 の無限等比級数の和となり、

　△PAD＝△DBA/(1－3/4)＝4△DBA であり、

　△CPB＝△PAD－△ACB－△ABD＝4△DBA－(3/4)△DBA－△DBA＝(9/4)△DBA 、

　△CPB：△ACB：△ABD＝(9/4)△DBA：(3/4)△DBA：△DBA＝9：3：4 です。

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