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[答935] 並んだ二等辺三角形

ヤドカリ

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[答935] 並んだ二等辺三角形


 底辺が一直線上になるように 合同な二等辺三角形7個を並べ、

 右端の二等辺三角形の右端と 左の2つの二等辺三角形の頂点を結ぶと、

 図の水色部分 12個の面積の総和は もとの二等辺三角形(黄色部分)の面積の 5/2 倍になります。

 では、合同な二等辺三角形 280個を並べ、同様に 558個の水色部分を作ると、

 水色部分の面積の総和は もとの二等辺三角形の面積の何倍?


[解答1]

 一般化して n個の二等辺三角形を並べる場合を考え、

 左から △(0),△(1),△(2),……,△(n-1) と名付けます。

 また、もとの二等辺三角形(黄色部分)の面積を S とします。

 △(0)の頂点と右下を結ぶ直線との交点は、

 △(k)の左側の等辺は頂点から k/n の所、右側の等辺は k/(n-1) の所、

 △(1)の頂点と右下を結ぶ直線との交点は、

 △(k)の左側の等辺は頂点から (k-1)/(n-1) の所、右側の等辺は頂点から (k-1)/(n-2) の所、

 △(k)内の水色の部分の面積は、

 {k/n}{k/(n-1)}S-{(k-1)/(n-1)}{(k-1)/(n-2)}S

  =k2S/{n(n-1)}-(k-1)2S/{(n-1)(n-2)} 、

 k=1,2,……,n-1 として加えると、

 {(n-1)n(2n-1)/6}S/{n(n-1)}-{(n-2)(n-1)(2n-3)/6}S/{(n-1)(n-2)}

  =(2n-1)S/6-(2n-3)S/6=S/3 です。

 △(k)のすぐ左の水色の部分の面積は、

 {1-(k-1)/(n-1)}{1-k/n}S={(n-k)/(n-1)}{(n-k)/n}S=(n-k)2S/{n(n-1)} 、

 k=1,2,……,n-1 として加えると、

 {(n-1)n(2n-1)/6}S/{n(n-1)}=(2n-1)S/6 です。

 よって、水色部分の面積の総和は S/3+(2n-1)S/6=(2n+1)S/6 になり、(2n+1)/6 倍です。

 本問では n=280 なので、(2・280+1)/6=187/2 倍です。


[解答2]

 一般化して n個の二等辺三角形を並べる場合を考えます。

 また、もとの二等辺三角形(黄色部分)の面積を S とします。

 下図のように、水色部分を水色と緑に塗り分け、緑の上の三角形を橙色に塗ります。

 左端の水色の三角形の面積は (n-1)S/n で、水色の三角形は全部相似、

 左から相似比は (n-1):(n-2):(n-3):……:1 です。

 よって、水色部分の面積の総和を S(n) とすれば、

 S(n)={(n-1)S/n}{(n-1)2+(n-2)2+(n-3)2+……12}/(n-1)2

  ={(n-1)S/n}{(n-1)n(2n-1)/6}/(n-1)2=(2n-1)S/6 です。

 緑部分と橙色部分の面積の総和は 水色部分の面積の総和に等しく、

 橙色部分の面積の総和は S(n-1) なので、求める面積(水色と緑の面積の総和)は、

 2S(n)-S(n-1)=2(2n-1)S/6-(2n-3)S/6={2(2n-1)-(2n-3)}S/6=(2n+1)S/6 で、

 もとの二等辺三角形の面積の (2n+1)/6 倍です。

 本問では n=280 なので、(2・280+1)/6=187/2 倍です。

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Comments 17

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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キバナコスモスすてきな構図!

ニリンソウ  
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益々元気なのですよね~
近所のキバナコスモスも。 やっぱ青空が好きなんだ!

ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
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秋の空にキバナコスモスが素敵です。

道東では爆弾低気圧とその後の台風で
コスモス類は枯れてしまいました。

ナイス☆

???  
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一般化した場合、nは3以上ですね。

こっこちゃん  
No title

キバナコスモス 青空が似合いますね

心地よい気分に慣れました ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
7の場合の式とアルゴリズムが同じはずなので、
それに当て嵌めて求めました ^^
[解答2]と同じ式であることに気付きました☆ Orz~

ヤドカリ  
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2015/10/9(金) 午前 6:20 の鍵コメさん、
早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
キバナコスモスは永く咲いてくれています。
背景は青空がいいですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
下から撮ると花弁を裏から撮ることになりますが、
青空とオレンジもいい色合いだと思いました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
キバナコスモスは夏から咲いていますが、
天高い秋の方が私には綺麗に見えます。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そちらはもう紅葉の季節ですね。
此方でも紅葉の季節には、コスモスも終わっていると思います。

ヤドカリ  
No title

???さん、早速のコメントをありがとうございます。
n≧3 でないとこのような塗り方ができないので、
その記述は省略しました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
青空に似合う花はいろいろありますが、コスモスには風を感じます。
実際に風が吹いているとなかなか撮れませんが。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
n=7 の場合で確かめると、難しくはないでしょう。
nの値に関わらず、緑の部分だけの面積が一定なのも気に入っています。

???  
No title

無理矢理n=2の場合を考えられます。そのときは1になります。

ヤドカリ  
No title

???さん、無理矢理 n=2 の場合を考える必要はないと思います。
左から2番目の二等辺三角形の頂点の部分にできる三角形は問題の面積に含まれますが、
いちばん右の二等辺三角形の頂点の部分にできる三角形は問題の面積に含まれません。
n=2 のときは、この2つが矛盾するからです。

樹☆  
No title

こすもすやキバナコスモスの
陽が当たって・・透明感の花びらが好きです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
キバナコスモスは永い間咲いてくれています。
ある程度咲いて、背景がいい時に撮りました。