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[答91] 2種類の数字でできた6桁の91の倍数

ヤドカリ

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[答91] 2種類の数字でできた6桁の91の倍数


 使われている数字が2種類である6桁の自然数のうち、91の倍数は何個?



[解答1]

 6桁の自然数nの十万の位をa、もう1つの数字をb としておきます。

 また、万の位をp,千の位をq,百の位をr,十の位をs,一の位をt とします。

 このとき、p,q,r,s,t は a または b です。

 n=100000a+10000p+1000q+100r+10s+t

  =100009a+10010p+1001q+91r-9a-10p-q+9r+10s+t

  =91(1099a+110p+11q+r)+9(r-a)+10(s-p)+(t-q)

 m=9(r-a)+10(s-p)+(t-q) とすれば、mが91の倍数であればOKです。

 ここで、p,q,r,s,t は a または b だから、|a-b|=d とすると、d=1,2,3,4,5,6,7,8,9 で、

 r-a, s-p, t-q はいずれも 0 または ±d だから、r-a=xd, s-p=yd, t-q=zd とおけば、

 x,y,z はいずれも、0 または ±1 で、m=(9x+10y+z)d が91の倍数です。

 91=7・13 ですので、d=7 の場合でも 9x+10y+z は13の倍数でなければなりません。

 これを満たすのは、(x,y,z)=(0,0,0),(1,-1,1),(-1,1,-1)、

 このとき、9x+10y+z=0 だから m=0 で91の倍数です。

 また、(r-a, s-p, t-q)=(0,0,0),(d,-d,d),(-d,d,-d) です。

 (r-a, s-p, t-q)=(0,0,0) のとき、

   r=a, s=p, t=q だからnは aabaab, abaaba, abbabb の形、

 (r-a, s-p, t-q)=(d,-d,d),(-d,d,-d) のとき、

   r-a=p-s=t-q つまり r=p=t かつ a=s=q だからnは ababab の形です。

 まとめると、aabaab, abaaba, abbabb, ababab の4種類の形となります。

 aは 1~9 の9種類、bは 0~9 でa以外の9種類だから、9×9×4=324 個です。


☆ 1001, 10101 は 91 の倍数であることに気づけば、

 上記の4種類の形が 91 の倍数になるのは明らかですが、それ以外にないことを示しました。



[解答2] uch*n*anさんのコメントより(端折った部分とつけ加えた部分があります)

 例えば,6 桁の数 aababa, bbabab(a≠b) を考えると,

 aababa=110101・a+1010・b=111111・a+1010・(b-a)=91・1221・a+1010・(b-a)

 bbabab=110101・b+1010・a=111111・b+1010・(a-b)=91・1221・b-1010・(b-a)

 ここで,91=7・13, 0<|b-a|≦9 だから |b-a|=7 になっても 1010 は 13 の倍数ではないので,

 aababa, bbabab は 13 の倍数になりません。従って 91 の倍数にもなりません。

 結局, aababa, bbabab の a,b の(計算を楽にするため)多い方を0, 少ないほうを1とした,

 001010(前後の0を除いた101)が 13 の倍数であることが必要です。

 1 が3個以下のものを(前後の0を除いて)すべて書き出すと,

 1,
 11, 101, 1001, 10001, 100001,
 111, 1101, 1011, 11001, 10101, 10011, 110001, 101001, 100101, 100011

 が 13 の倍数かどうかを調べればいいことになります。

 実際に試してみると,1001, 10101 だけが 13 の倍数で、
 
 (さらに都合よく) 1001=91・11, 10101=91・111 はともに 91 の倍数です。

 これらは,前後の 0 を復活すると,

 1001 ⇒ aabaab, abaaba, baabaa , 10101 ⇒ ababab

 だけが題意を満たすと分かります。

.

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Comments 9

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ヤドカリ  
No title

2010/2/12(金) 午前 4:27の鍵コメ様
コメントを有難う御座います。
aabaab, abaaba, abbabb, ababab の4種類の形
というのが分かれば答が出ます。

uch*n*an  
No title

[解答]を読みました。まず,n の変形に気付くか,その後もそれなりに議論が必要ですね。
ご参考のために,私の解法も示しておきます。
(以前に鍵コメで書いたものは論理的に抜けがあったので若干変えましたが,
考え方は同じです。)

uch*n*an  
No title

まずは,例で示します。
今,6 桁の数 aababa,a ≠ b を考えると,
aababa = a * 110101 + b * 1010 = a * 111111 + (b - a) * 1010
111111 = 91 * 1221, 91 = 7 * 13
ここで,-9 <= b - a <= 9 で 0 ではなく,±7 になっても 1010 は 13 の倍数ではないので,
aababa は,91 の倍数ではありません。また,
bbabab = b * 110101 + a * 1010 = b * 111111 + (a - b) * 1010
より,bbabab も,91 の倍数ではありません。

uch*n*an  
No title

同様のことを他のパターンにも考え,10^n は 13 の倍数ではないことも考慮すると,
例からも分かりますが,
6 桁の数の各桁の個数の多くない数字の部分を 1 にし,他を 0 にした数,
1,
11, 101, 1001, 10001, 100001,
111, 1101, 1011, 11001, 10101, 10011, 110001, 101001, 100101, 100011
が 13 の倍数かどうかを調べればいいことになります。
これには,このサイトで紹介されている判定法が使えます!

uch*n*an  
No title

実際に試してみると,
1001, 10101
だけが 13 の倍数です。これらは,10^n のずれを復活すると,
1001 -> aabaab, abaaba, baabaa -> 001001 = 91 * 11 の倍数
10101 -> ababab -> 010101 = 91 * 111 の倍数
だけが題意を満たすと分かります。そこで,
前者が 9 * 9 * 3 = 243 個,後者が 9 * 9 = 81 個,合計 243 + 81 = 324 個
になります。

uch*n*an  
No title

可能ならば,ですが,やどかりさんにお願い。
いつも思うのですが,他の方がどのような考え方をしたのかにも興味があります。
もちろん,可能な範囲で構いませんので,紹介願えないでしょうか?
本人の許可なしではプライバシー違反になってしまい,ダメなのかなぁ...
それに,やどかりさんの負担も増えちゃいますしね。
あくまでも,可能ならば,という,我儘なお願いです (^^;

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさんへ
> 可能ならば,ですが,やどかりさんにお願い。
の件ですが、
ほとんどの解き方は細部の違いはあっても、解答に示した方法と同じです。
目新しいものがあれば、追加することにしますが、行間を読むのに苦労することもあります。
ただ「プログラムで」というのは基本的にUPする気はありません。
また、マクロ?のようなものは、存じませんので私の手に負えません。
途中の説明で何を意味しているか解釈に困るもので答があっているものもあります。
いずれにせよ、私が納得できるものしか書けませんので、それはご了解下さい。

貴殿のように、解答者が、解答説明の記事を見られて、
必要ならば修正して、他の人に説明する気持ちで、書き込んで頂ければ有難いですが、
私にはそこまでの要求もできません。

uch*n*an  
No title

はい,了解です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさんへ
本問については、最初は私も貴殿の方法で解きましたが、場合を全部書き出す説明を、
読んでもらえるような書き方(説明)を思いつかなかったもので、
お蔵入りになっていました。
貴殿の説明はスッキリしていますのでUPさせて頂きました。