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[答936] 6桁の数の比

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答936] 6桁の数の比


 百の位が0でない6桁の自然数 A と その上3桁と下3桁を逆にしてできる6桁の自然数 B について、

 571428:428571=4:3 のように、

 1桁の自然数 m,n を用いて A:B=m:n と表される A は 571428 を含めて何個?

 また、そのうち、A の6個の数字が全部異なるのは 571428 を含めて何個?


[解答]

 m=n のとき A:B=1:1 で、上3桁と下3桁が等しく、100,101,……,999 の 900個あります。

 m<n の場合と m>n の場合は A,B の入れ換えを考えて同数あり、

 GCD(m,n)>1 の場合は m:n を簡単にしても1桁どうしの比になるので、

 m>n で GCD(m,n)=1 の場合について A を求めます。

 Aの上3桁を x,下3桁を y とすれば x>y≧100,A=1000x+y,B=1000y+x になります。

 A:B=(1000x+y):(1000y+x)=m:n だから、m>n より x>y となり、

 m(1000y+x)=n(1000x+y) 、(1000m-n)y=(1000n-m)x 、

 x:y=(1000m-n):(1000n-m) 、(x+y):(x-y)=999(m+n):1001(m-n) です。

 ここで、

 m,n が両方奇数のとき、GCD(m+n,m-n)=GCD(m+n,2m)=2・GCD(m+n,m)=2・GCD(n,m)=2 、

 m,n が奇数と偶数のとき、GCD(m+n,m-n)=GCD(m+n,2m)=GCD(m+n,m)=GCD(n,m)=1 です。

 また、1001(m-n)≧1001 より GCD(m+n,1001(m-n))>1 ,1001=7・11・13 ,2+1≦m+n≦9+8 を

 考慮して、m+n=7,11,13,14 になり、(m,n)の組は次の通りです。

 (m,n)=(6,1),(5,2),(4,3),(9,2),(8,3),(7,4),(6,5),(9,4),(8,5),(7,6),(9,5) 、

 ここで、m/(m+n)=k/1001 とおけば、n/(m+n)=1-k/1001 で、

 k=858,715,572,819,728,637,546,693,616,539,1287/2 だから、

 x:y=(1000m-n):(1000n-m)={1000m/(m+n)-n/(m+n)}:{1000n/(m+n)-m/(m+n)}

  ={1000k/1001-(1-k/1001)}:{1000(1-k/1001)-k/1001}=(k-1):(1000-k) となって、

 x:y=857:142,238:95,571:428,818:181,727:272,212:121,545:454,
    692:307,205:128,538:461,1285:713

 このうち、x:y=1285:713 を満たす3桁の数はなく、

 x:y=238:95,212:121,205:128 については、

  A=476190,714285,952380,212121,424242,636363,848484,205128,410256,615384,820512 、

 x:y=857:142,571:428,818:181,727:272,545:454,692:307,538:461 については、

  A=857142,571428,818181,727272,545454,692307,538461 です。

 以上の考察により、m>n のときの A は 18個あり、全部で 900+18・2=936 個あります。

 また、6個の数字が異なる A は

 A=476190,714285,952380,410256,615384,857142,571428,692307,538461 と、

 上下の3桁を入れ換えた 18個です。


[参考]

 これらの数は簡単な分数の循環節になります。[  ]内にその分数を示しました。

 142857 [1/7],285714 [2/7],428571 [3/7],571428 [4/7],714285 [5/7],857142 [6/7],

 307692 [4/13],384615 [5/13],461538 [6/13],538461 [7/13],615384 [8/13],692307 [9/13],

 190476 [4/21],380952 [8/21],476190 [10/21],952380 [20/21],

 128205 [5/39],205128 [8/39],256410 [10/39],410256 [16/39],512820 [20/39],820512 [32/39]

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Comments 15

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

わぁ~群れ咲いていますね~

ひとりしずか  
No title

ちょうど芯に光が入って~

樹☆  
No title

おはようございます
サフランモドキでしょうか。
きれいなピンク色が目をひきます。

アキチャン  
No title

おはようございます。
綺麗ですね~(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
上のような感じで、もっと泥臭く調べ上げたのですが ^^;;
[参考]から、構造的に求められないのかなぁ…?
10^6-1=999999=3^3*7*11*13*37
6を原始根に持つものは、7,13
一桁のn/m・・・7のときはすべて…
13のときは、たとえば、m=11はなく、12なら、n=2,3,4,6でなくてはならず…また、n+m=13...ん、mは互いに素になってるような…
but…21,39のときはどうなってるのかがわからない…^^; Orz

uch*n*an  
No title

この問題は最初少し混乱してしまいました。
混乱の原因は,比なので m,n は互いに素,と勝手に思い込んだことです。
もちろんそれ自体は間違いではないのですが,比の元の数もその分限定してしまいました。
これだと問題番号と微妙に違うので変だなと思いました2。問題番号に救われましたね (^^;
よく考えれば,比だからこそ,比の元の2数に定数倍の自由度があるわけで,
それに気付いてスッキリと解けました。
比なので同じにはなりすが,問題文には互いに素の条件がありませんね。
[参考]は,言われてみれば確かにそうなるなぁ,ですが,そこまでは気付きませんでした。

ニリンソウ  
No title

これも不思議な花ですよね。
柔らかなそうな花が地面からいきなり出て咲く。
彼岸花の仲間でしょうかね。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
地面からニョキニョキ顔を出して花を咲かせるイヌサフラン
葉っぱはどんな葉っぱなんでしょう

彼岸花同様花と葉っぱが別々に出てくるのでしょうね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
沢山のイヌサフランが咲いていました。
光の当たり方が良かったと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
サフランモドキは別のピンクの花で、写真のはイヌサフランです。
ピンクの花は優しい感じがしますが、有毒です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
同じ花がたくさん固まって咲いていると見ごたえがあります。
私も綺麗だなぁと思いました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
貴殿の「問題9865」もヒントになっていますね。
ただ、こちらの方はもう少し複雑です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
A,B は当然互いに素ではないのですが、
上3桁と下3桁は互いに素である場合もそうでない場合もありますね。
私も問題を解いていて錯覚することがあります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
いきなり地面から咲く花も何種類かありますね。
私も同じように思いますが、
イヌサフランはイヌサフラン科、ヒガンバナはヒガンバナ科と
科を調べても変わりばえしませんでした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
葉っぱはどんなでしょうか。注意して見ませんね。
調べてみると、ギョウジャニンニクという山菜と似ているそうです。