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[答937] 四面体の分割

ヤドカリ

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[答937] 四面体の分割


 合同な4個の二等辺三角形を面にもつ四面体を、二等辺三角形の等辺をn等分する点を結んでできる

 平面で切断し、n個に分けます。( 切り口は長方形になります )

 n=5 のとき、切断してできる立体の体積比は 13:31:37:31:13 になり、

 最小のものと最大のものの体積比は 13:37 です。

 では、n=25 のとき、切断してできる立体の最小のものと最大のものの体積比は?


[解答1]

 もとの四面体を、正四角柱から底面が直角二等辺三角形である三角錐4個を除いたものと見なします。

 正四角柱の体積を 3V とすれば、底面が直角二等辺三角形である三角錐の体積は 3V/6=V/2 です。

 従って、もとの四面体の体積は 3V-4・V/2=V です。

 まとめて正四角柱をn等分するとき、

 底面が直角二等辺三角形である三角錐の頂点からk番目の小立体の体積は、

 (V/2)k3/n3-(V/2)(k-1)3/n3=V(3k2-3k+1)/(2n3) 、

 底面が直角二等辺三角形である三角錐の底面からk番目の小立体の体積は、

 頂点から(n+1-k)番目なので、V{3(n+1-k)2-3(n+1-k)+1)}/(2n3) です。 

 よって、もとの立体の端からk番目の小立体の体積は、

 3V/n-2V(3k2-3k+1)/(2n3)-2V{3(n+1-k)2-3(n+1-k+1)}/(2n3)

  =(V/n3){3n2-3k2+3k-1-3(n+1-k)2+3(n+1-k)-1}

  =V(-6k2+6nk+6k-3n-2)/n3

  =-3V(4k2-4nk-4k+2n+4/3)/(2n3)

  =-V{3(2k-n-1)2-3n2+1}/(2n3) になります。

 n=25 のとき、-V{6(k-13)2-937}/253 になって、

 最小は k=1,25 のとき 73V/253 、最大は k=13 のとき 937V/253 だから、

 求める体積比は 73:937 になります。


[解答2]

 二等辺三角形の底辺にあたる辺の長さを na ,その2辺の距離を nb とすれば、

 その2辺からの距離 x での切断面は長方形になり、

 長方形の2辺は (na)(x/nb)=ax/b ,a(nb-x)/b だから 面積は a2(nbx-x2)/b2 です。

 端からk番目の小立体の体積は、

 ∫(k-1)bkb a2(nbx-x2)/b2 dx

  =(a2/b2)[nbx2/2-x3/3](k-1)bkb

  =(a2/b2){nb(2k-1)b2/2-(3k2-3k+1)b3/3}

  =a2b{n(2k-1)/2-(3k2-3k+1)/3}=a2b{3n(2k-1)-2(3k2-3k+1)}/6

  =a2b(-6k2+6nk+6k-3n-2)/6 ( [解答1]同様 )

  =-a2b{3(2k-n-1)2-3n2+1}/12 になります。

 n=25 のとき、-a2b{6(k-13)2-937}/6 になって、

 最小は k=1,25 のとき 73a2b/6 、最大は k=13 のとき 937a2b/6 だから、

 求める体積比は 73:937 になります。

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Comments 10

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ヤドカリ  
No title


写真の花はミョウコウトリカブト(白花)です。

ひとりしずか  
No title

こちらでは見れない種です
興味を惹く花です!

ひとりしずか  
No title

白は珍しいのでは?

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
今日は逆にも見えますが…^^;
最初、左が底面に引っ付いて、右が上に高いフォルムに見えたので、左側が上から見たら△のショートケーキで考えました ^^
上に乗せる体積は、元の2倍で、真ん中の2断面の面積が等しいので、体積の比例計算の引き算で…5等分のときは…
Min=(1/5)^2-(2/3)*(1/5)^3=13/375
Max=(3/5)^2-(2/5)^2-(2/3)*((3/5)^3-(2/5)^3)=37/375
このアナロジーで…25分割のときは…
Min=(1/25)^2-(2/3)*(1/25)^3=73/46875
Max=(13/25)^2-(12/25)^2-(2/3)*((13/25)^3-(12/25)^3)
=937/46875
と求めましたぁ…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
トリカブト自体、こちらでは普通は見られません。
この花は花の文化園で見たものです。
ひとりしずかさんがトリカブトを調べておられましたので、
少し前に撮ったものをアップしました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
立体は見方によって違って見えますね。
ところで、このような問題は一般化しておけば、
5のときにに合っているか確かめ、25のときの答を求めれば確実ですね。

さっちゃんこ  
No title

始めてみる花だと思ったら白のトリカブトの花なんですね
紫のトリカブトの花は知っていましたが白もあるなんて知りませんでした

白もいいですが私はやはり紫の方が良いですネ
ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

「火打山」や「妙高山」だけに咲く特有の花らしいですね。 見ても違いは区別できませんが
白花もあるのですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
違う種類の紫のトリカブトも見たのですが、すでに萎れていました。
少ないながら白もあるようですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
トリカブト自体、ほとんど見る機会のない花ですので、私はもっと区別できません。
可愛い花ですが、猛毒だそうですね。