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[答940] 12桁の数

ヤドカリ

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[答940] 12桁の数


 432123234567 のように、数字の 0 を含まず、隣り合う数字の差が1である 12桁の数の個数は?


[解答1]

 隣り合う数字の差が1であるn桁の数で末位がkのものの個数を a(n,k) とし、

 a(n,0)=a(n,10)=0 と定義すれば、a(n+1,k)=a(n,k-1)+a(n,k+1) なので、

 単純に 表を作れば 上記のようになり 9400個です。

 もちろん、a(n,k)=a(n,10-k) を利用すれば、もう少し能率よくなります。


[解答2]

 首位が偶数で末位が奇数のものと、首位が奇数で末位が偶数のものとがありますが、

 逆に並べることにより1対1に対応しますので、首位が偶数で末位が奇数のものだけを考え、

 2倍すると求める個数が得られます。

 条件に合う 奇数桁で首位が偶数のものは末位も偶数ですが、

 nを自然数として、首位が偶数で(2n-1)桁のものの個数を求めます。

 4321232 と 6789878 のように、各位の数字の和が 10 になるように対応させることにより、

 末位が 2 のものと 末位が 8 のものは同数で、末位が 4 のものと 末位が 6 のものは同数です。

 末位が 2,4,6,8 のものの個数をそれぞれ 、an,bn,bn,an とします。

 末位が 2 のものの下3桁は、212,232,432 だから、an+1=2an+bn ……(1) 、

 末位が 4 のものの下3桁は、234,434,454,654 だから、bn+1=an+3bn ……(2) です。

 (1)より bn=an+1-2an となり、(2)に代入して、an+2-2an+1=an+3(an+1-2an) 、an+2=5an+1-5an

 (2)より an=bn+1-3bn となり、(1)に代入して、bn+2-3bn+1=2(bn+1-3bn)+bn 、bn+2=5bn+1-5bn

 ここで、an+bn=cn とおけば、首位が偶数で(2n-1)桁のものの個数は 2cn で、cn+2=5cn+1-5cn です。

 また、(a1,b1)=(1,1) より (a2,b2)=(3,4) 、c1=a1+b1=2 ,c2=a2+b2=7 です。

 よって、c3=5c2-5c1=25 ,c4=5c3-5c2=90 ,c5=5c4-5c3=325 ,c6=5c5-5c4=1175 です。

 条件に合う12桁の数は、首位も末位も偶数の11桁の 2c6 個に対し、

 首位の前に1違いの奇数を付加するか、末位の後に1違いの奇数を付加すると得られるので、

 4・2c6=8c6=8・1175=9400 個です。


[参考]

 c1=2 ,c2=7 ,cn+2=5cn+1-5cn を解きます。

 a=(5+√5)/2 ,b=(5-√5)/2 とおけば、a+b=5 ,ab=5 ,a-b=√5 ,

 a3=25+10√5=(5√5)(√5+2)=(5√5)(7-2b)=(5√5)(c2-bc1) ,

 b3=25-10√5=-(5√5)(-√5+2)=-(5√5)(7-2a)=-(5√5)(c2-ac1) になります。

 cn+2=(a+b)cn+1-abcn より

 cn+2-bcn+1=a(cn+1-bcn) 、cn+1-bcn=an-1(c2-bc1)=an+2/(5√5) 、

 cn+2-acn+1=b(cn+1-acn) 、cn+1-acn=bn-1(c2-ac1)=-bn+2/(5√5) 、

 差をとって、(a-b)cn=(an+2+bn+2)/(5√5) 、(√5)cn=(an+2+bn+2)/(5√5) 、cn=(an+2+bn+2)/25 です。

 結局、a=(5+√5)/2 ,b=(5-√5)/2 ,cn=(an+2+bn+2)/25 として、

 (2n)桁のものは 8cn 個 ,(2n+1)桁のものは 2cn+1+8cn 個です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

ヒヨドリバナですか?・・・
糸くずのようなシベが特徴ですネ

さっちゃんこ  
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おはようございます!!
フジバカマでしょうか!?
何時もアサギマダラに気をとられユックリ眺めていなかったようです
こうしてみると確信がないです(笑)

ナイス♪

こっこちゃん  
No title

おはようございます !(^^)!

花は 不思議な花弁を作り楽しませてくれますよね ナイス☆

uch*n*an  
No title

私は単純に[解答1]でした。この漸化式も原理的には解けるのでしょうが,
なかなかすごそうなのでそれ以上は考えませんでした。
[解答2]を見るとうまく対応を考えて3項漸化式に収められるのですね。
これならば[参考]のように一般的に解けますね。勉強になりました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしゃ...苦しい計算を1~5までから6桁目までしてて、何度も蹴つまずいて、心がくじけそうになるも…(途中で、奇数だけ、偶数だけなんだとその規則性の理由にも気付かず ^^;;)…なんとかゴール(940がきっと見えるはずとネバーギブアップの強い気持ちで ^^)できました ^^;v
[解答1]も理解不十分なままのわたしです…^^;;;Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ヒヨドリバナをよくご存じですね。
フジバカマに似た花が面白いですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
フジバカマに似ていますが、ヒヨドリバナです。
写真では分かりませんが、フジバカマは葉が3つに裂けています。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花の形は本当にいろいろありますね。
フジバカマやヒヨドリバナは独特です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントをありがとうございます。
3項間漸化式になれば解けますね。
漸化式自体は an,bn,cn で同じ形になりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解答1]は自分で表を作れば分かり易いです。
このような解答をしていた方が多かったです。

樹☆  
No title

検索してみたら
サワヒヨドリは絶滅危惧種・・とありました。
これは大丈夫なんですか?

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらの方はヒヨドリバナ、錦織公園で見たものですが、
サワヒヨドリは花の文化園で見ました。
普通に見られるようになってほしいですね。