[答942] 立方体の回転

[答942] 立方体の回転


　対角線が AG＝3 である 立方体ABCD-EFGH があります。

　この立方体を直線AGを軸として回転してできる回転体の体積は？


[解答]

　この立方体の１辺の長さは √3 です。

　また、△BDE，△CHF と AG の交点は、それぞれの三角形の重心となり、AGを３等分します。

　AB＝√3，BG＝√6，AG＝3 であることに注意し、

　空間座標で、A(－1，0，0)，B(0，√2，0)，C(1，b，c)，G(2，0，0) (c≧0)とします。

　AC＝√6 より b²＋c²＝2 、BC＝√3 より (b－√2)²＋c²＝2 になり、

　b＝1/√2，c＝(√3)/√2 になり、C(2，1/√2，(√3)/√2) です。

　ここで、辺BC上の点を P(x，y，z) (0≦x≦1) とすれば、

　x：(y－√2)：z＝1：(1/√2－√2)：(√3)/√2＝√2：(－1)：√3 、

　y＝－(x－2)/√2，z＝(√3)x/√2 です。

　よって、P と x軸上の点(x，0，0)の距離を f(x) とすれば、

　｛f(x)｝²＝y²＋z²＝(x－2)²/2＋3x²/2＝2x²－2x＋2 です。

　よって、BCを回転してできる回転体の体積は、

　π∫₀¹(2x²－2x＋2)dx＝π[2x³/3－x²＋2x]₀¹＝5π/3 です。

　CD，DH，HE，EF，FB を回転した場合も同じ回転体になります。

　次に、辺AB，AD，AEを回転すると 円錐になり、底面の半径は f(0)，高さは 1 なので、その体積は、

　π｛f(0)｝²･1/3＝2π/3 で、辺GC，GH，GFを回転しても合同な円錐になります。

　よって、求める体積は 5π/3＋2･2π/3＝3π です。

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