[答942] 立方体の回転
[答942] 立方体の回転
対角線が AG=3 である 立方体ABCD-EFGH があります。
この立方体を直線AGを軸として回転してできる回転体の体積は?
[解答]
この立方体の1辺の長さは √3 です。
また、△BDE,△CHF と AG の交点は、それぞれの三角形の重心となり、AGを3等分します。
AB=√3,BG=√6,AG=3 であることに注意し、
空間座標で、A(-1,0,0),B(0,√2,0),C(1,b,c),G(2,0,0) (c≧0)とします。
AC=√6 より b2+c2=2 、BC=√3 より (b-√2)2+c2=2 になり、
b=1/√2,c=(√3)/√2 になり、C(2,1/√2,(√3)/√2) です。
ここで、辺BC上の点を P(x,y,z) (0≦x≦1) とすれば、
x:(y-√2):z=1:(1/√2-√2):(√3)/√2=√2:(-1):√3 、
y=-(x-2)/√2,z=(√3)x/√2 です。
よって、P と x軸上の点(x,0,0)の距離を f(x) とすれば、
{f(x)}2=y2+z2=(x-2)2/2+3x2/2=2x2-2x+2 です。
よって、BCを回転してできる回転体の体積は、
π∫01(2x2-2x+2)dx=π[2x3/3-x2+2x]01=5π/3 です。
CD,DH,HE,EF,FB を回転した場合も同じ回転体になります。
次に、辺AB,AD,AEを回転すると 円錐になり、底面の半径は f(0),高さは 1 なので、その体積は、
π{f(0)}2・1/3=2π/3 で、辺GC,GH,GFを回転しても合同な円錐になります。
よって、求める体積は 5π/3+2・2π/3=3π です。
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