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[答942] 立方体の回転

ヤドカリ

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[答942] 立方体の回転


 対角線が AG=3 である 立方体ABCD-EFGH があります。

 この立方体を直線AGを軸として回転してできる回転体の体積は?


[解答]

 この立方体の1辺の長さは √3 です。

 また、△BDE,△CHF と AG の交点は、それぞれの三角形の重心となり、AGを3等分します。

 AB=√3,BG=√6,AG=3 であることに注意し、

 空間座標で、A(-1,0,0),B(0,√2,0),C(1,b,c),G(2,0,0) (c≧0)とします。

 AC=√6 より b2+c2=2 、BC=√3 より (b-√2)2+c2=2 になり、

 b=1/√2,c=(√3)/√2 になり、C(2,1/√2,(√3)/√2) です。

 ここで、辺BC上の点を P(x,y,z) (0≦x≦1) とすれば、

 x:(y-√2):z=1:(1/√2-√2):(√3)/√2=√2:(-1):√3 、

 y=-(x-2)/√2,z=(√3)x/√2 です。

 よって、P と x軸上の点(x,0,0)の距離を f(x) とすれば、

 {f(x)}2=y2+z2=(x-2)2/2+3x2/2=2x2-2x+2 です。

 よって、BCを回転してできる回転体の体積は、

 π∫01(2x2-2x+2)dx=π[2x3/3-x2+2x]01=5π/3 です。

 CD,DH,HE,EF,FB を回転した場合も同じ回転体になります。

 次に、辺AB,AD,AEを回転すると 円錐になり、底面の半径は f(0),高さは 1 なので、その体積は、

 π{f(0)}2・1/3=2π/3 で、辺GC,GH,GFを回転しても合同な円錐になります。

 よって、求める体積は 5π/3+2・2π/3=3π です。

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Comments 16

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
白とピンクの絞りの模様が優しいですネ
青空にとてもよくマッチしていますね

ナイス☆彡

ひとりしずか  
No title

やさしい花色

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
面白いフォルムも予想でき、3πも予想できたのですが ^^…
いかんせん、捻れの部分の求め方分からず…^^;…撃沈 Orz~
積分の威力まざまざです☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
青空に映えてきれですね(o^-^o)
こちら今日は☂雨が降ってます。寒くなってきましたね。

こっこちゃん  
No title

芙蓉の花ですか

青空に ピンク 優しい色ですね ナイス

樹☆  
No title

おはようございます
アオイ科のお花は難しいですね。
フヨウのピンクが可愛いし枯れてゆく姿もきれい。

ヤドカリ  
No title


先島は宮古・八重山諸島の総称です。
サキシマフヨウは鹿児島県西部の島から
琉球にかけて分布します。
樹高は数m程度です。
他のアオイ科の花がほとんど終わった
10月~12月に咲くのが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
白とピンクで優しい感じもいいですが、
私は何よりも花が少ないこの時期に咲いてくれるのが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、やさしい花色ですね。
たくさん咲いていましたょ。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
積分はこんな問題に威力を発揮しますね。
計算式を作れたらのことですが。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
青空が背景になるように意識して撮りました。
ところで、今日は当方でも雨でした。久しぶりです。

ヤドカリ  
No title

> 2015/11/2(月) 午前 10:20の鍵コメ様
結果はどうあれ、その努力は私にとって驚異です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に書きましたように、サキシマフヨウの花です。
芙蓉がほとんど見られない今の時期に見られるのがいいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
酔芙蓉も少しは見られますが、
今の時期に外で元気に咲く芙蓉は、先島芙蓉しか知りません。

ニリンソウ  
No title

青空背景に花を撮れるのが嬉しいですね。
久し振りの快晴も3日と続かないのかな明日から
崩れるようです。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
青空を背景に撮るのは花にある程度の高さが必要ですね。
此方は青空が続いていますが、日曜日に雨の予報です。