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[答943] 5乗の下3桁がもとの数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答943] 5乗の下3桁がもとの数


 3桁の自然数 n について、n2,n3,n4,n5 の順に計算します。

 例えば、8072=651249,8073=525557943,8074=424125260001,8075=342269084820807 となり、

 その下3桁は5乗してはじめてもとの数に一致します。

 このような、下3桁が5乗してはじめてもとの数に一致する3桁の自然数は 807 を含めて何個?

 また、その総和は?


[解答]

 3桁の自然数で、k乗の下3桁がもとの数に一致するものの集合を Sk とすれば、

 Sk={n|nは3桁の自然数 かつ nk-n は 1000の倍数} になります。

 n3-n=n(n-1)(n+1)=(n2-n)(n+1) だから、

 「n2-n が 1000の倍数」 ⇒ 「n3-n が 1000の倍数」 が成り立ち、S2⊂S3 です。

 n5-n=n(n-1)(n+1)(n2+1)=(n3-n)(n2+1) だから、

 「n3-n が 1000の倍数」 ⇒ 「n5-n が 1000の倍数」 が成り立ち、S3⊂S5 です。

 n4-n=n(n-1)(n2+n+1)=(n2-n)(n2+n+1) であり、 n2+n+1 は奇数で5の倍数にならないから、

 「n2-n が 1000の倍数」 と 「n4-n が 1000の倍数」 は同値となり、S2=S4 です。

 まとめると、S4=S2⊂S3⊂S5 となって、

 問題の条件を満たす3桁の自然数は S5 の要素で S3 の要素でないものです。

 すなわち、次の(1)(2)の両方を満たす3桁の自然数を求めることになります。

 「n(n-1)(n+1)(n2+1) が 1000の倍数」……(1)

 「n(n-1)(n+1) が 1000の倍数でない」……(2)

 n2+1 が 5の倍数でない奇数ならば、(1)(2)は矛盾します。

 n2+1 が 5の倍数でない偶数ならば、(1)より n(n-1)(n+1) は 125の倍数ですが、

 n は奇数なので n-1,n+1 の片方は4の倍数で他方も偶数だから、(n-1)(n+1) は 8の倍数、

 n(n-1)(n+1) は 1000の倍数となり、(2)に反します。

 よって、n2+1 は 5の倍数でなければなりません。

 また、n2-1,n2,n2+1 は連続3整数で、

 同時に 5の倍数にならないことと (1)より積が 125の倍数であることから、

 n2+1 は 125の倍数でなければなりません。

 まず、n2+1 が 5の倍数になるのは、整数 a を用いて n=5a±2 と表され、

 n2+1=25a2+5(±4a+1) が 25の倍数となるのは、

 ±4a+1 が 5の倍数となるときで、整数 b を用いて a=5b±1 (複号同順) と表され、

 n=5a±2=5(5b±1)±2=25b±7 、

 n2+1=625b2+50(±7b+1) が 125の倍数となるのは、

 ±7b+1 が 5の倍数となるときで、整数 c を用いて b=5c±2 (複号同順) と表され、

 n=25b±7=25(5c±2)±7=125c±57 です。

 n が奇数のとき n(n-1)(n+1) は 8の倍数になり、

 n が偶数のとき n4-1 は奇数だから (1)より n は 8の倍数である必要があり、

 n は奇数か 8の倍数のときです。

 n=193,307,432,443,557,568,693,807,943 の 9個で、総和は 4943 です。


☆ 3桁という条件をはずすと、k が奇数であれば、

 (1000-n)k-(1000-n)≡(-n)k-(-n)≡-(nk-n) (mod 1000) だから、

 n∈Sk と 1000-n∈Sk は同値です。

 よって、n=5a+2 の場合を求め、このとき、n=125c+57 、

 n=57,307,432,557,807 、 1000-n=943,693,568,443,193 とすれば複号で煩わされませんし、

 そのうちの3桁の数の総和は 5000-57=4943 です。


☆ 下3桁が3乗してもとの数に一致する3桁の自然数は

 125,249,251,375,376,499,501,624,625,749,751,875,999 で、

 太字の数は2乗したとき下3桁がもとの数に一致します。

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Comments 15

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ひとりしずか  
No title

シベの先の糸くずみたいなのがなんとも惹かれます~
光の陰影が立体感になって・・・

樹☆  
No title

おはようございます
最近、おニューのお花が多いです。
きれいな色合いですね。
くるくるが昔の電球を思い出します。
えっ?知らないって?
同じ世代でしょう。笑

ゆうこ つれづれ日記  
No title

なんと素敵な色のお花でしょう。
薄紫の色のお花は大好きです。
ヤドカリさん地方の花は、道東では見られないお花が多いです。
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

これは解らないわ~??
針金が曲がったような花芯ですね。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
始めてみる花のようです
花弁も蕊の形も面白い花ですネ

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title


写真の花はチコリ(菊苦菜)です。
ヨーロッパの北部が原産です。
石灰岩質の草地や耕作地に生え、
高さは50~150cmほどになります。
古くから野菜として栽培され、
若い葉はサラダ,花はサラダや砂糖漬け,蕾はピクルス,
根は焙煎して「チコリコーヒー」に利用されます。
半日花です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
蕊は面白い形をしていますね。
色が薄い花弁に光が当たると綺麗です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
裸電球のフィラメントは知識としては知っていますが、
実感はないことにしておきます。(笑)

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
上に書きましたように、ヨーロッパ北部が原産なので、
北海道でも育つと思いますが、珍しいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
私もこの花は知りませんでしたが、
日本でも作付けされるようになるかも知れません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この写真を撮ったとき、私も初めて見ました。
いろいろと効用がある植物のようです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
どうして漏れちゃうのか分からないままでタイムアップとなりましたぁ…^^;
☆印のようなことと同値な感じで考えてるはずなのに…?
nが満たすなら、1000-nも満たすことは気付いてましたし…
最近の問題はわたしにはレベルが高いんだと思ってます…^^;; Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
楽しんで頂いているのだから、漏れがあっても愛嬌です。
本業の方で漏れがないのだからいいとしましょう。

樹☆  
No title

このお花「チコリ」だったのですか?
お野菜は食べたことはあります。
こんなにきれいなお花だったとは。。ありがとう

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントをありがとうございます。
野菜の花も綺麗に咲くものですね。
十分に観賞用になると思います。