[答943] ５乗の下３桁がもとの数

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[答943] ５乗の下３桁がもとの数


　３桁の自然数 ｎ について、n²，n³，n⁴，n⁵ の順に計算します。

　例えば、807²＝651249，807³＝525557943，807⁴＝424125260001，807⁵＝342269084820807 となり、

　その下３桁は５乗してはじめてもとの数に一致します。

　このような、下３桁が５乗してはじめてもとの数に一致する３桁の自然数は 807 を含めて何個？

　また、その総和は？


[解答]

　３桁の自然数で、ｋ乗の下３桁がもとの数に一致するものの集合を Ｓ_k とすれば、

　Ｓ_k＝｛n｜nは３桁の自然数 かつ n^k－n は 1000の倍数｝ になります。

　n³－n＝n(n－1)(n＋1)＝(n²－n)(n＋1) だから、

　「n²－n が 1000の倍数」 ⇒ 「n³－n が 1000の倍数」 が成り立ち、Ｓ₂⊂Ｓ₃ です。

　n⁵－n＝n(n－1)(n＋1)(n²＋1)＝(n³－n)(n²＋1) だから、

　「n³－n が 1000の倍数」 ⇒ 「n⁵－n が 1000の倍数」 が成り立ち、Ｓ₃⊂Ｓ₅ です。

　n⁴－n＝n(n－1)(n²＋n＋1)＝(n²－n)(n²＋n＋1) であり、 n²＋n＋1 は奇数で５の倍数にならないから、

　「n²－n が 1000の倍数」 と 「n⁴－n が 1000の倍数」 は同値となり、Ｓ₂＝Ｓ₄ です。

　まとめると、Ｓ₄＝Ｓ₂⊂Ｓ₃⊂Ｓ₅ となって、

　問題の条件を満たす３桁の自然数は Ｓ₅ の要素で Ｓ₃ の要素でないものです。

　すなわち、次の(1)(2)の両方を満たす３桁の自然数を求めることになります。

　「n(n－1)(n＋1)(n²＋1) が 1000の倍数」……(1)

　「n(n－1)(n＋1) が 1000の倍数でない」……(2)

　n²＋1 が 5の倍数でない奇数ならば、(1)(2)は矛盾します。

　n²＋1 が 5の倍数でない偶数ならば、(1)より n(n－1)(n＋1) は 125の倍数ですが、

　n は奇数なので n－1，n＋1 の片方は４の倍数で他方も偶数だから、(n－1)(n＋1) は 8の倍数、

　n(n－1)(n＋1) は 1000の倍数となり、(2)に反します。

　よって、n²＋1 は 5の倍数でなければなりません。

　また、n²－1，n²，n²＋1 は連続３整数で、

　同時に 5の倍数にならないことと (1)より積が 125の倍数であることから、

　n²＋1 は 125の倍数でなければなりません。

　まず、n²＋1 が 5の倍数になるのは、整数 a を用いて n＝5a±2 と表され、

　n²＋1＝25a²＋5(±4a＋1) が 25の倍数となるのは、

　±4a＋1 が 5の倍数となるときで、整数 b を用いて a＝5b±1 (複号同順) と表され、

　n＝5a±2＝5(5b±1)±2＝25b±7 、

　n²＋1＝625b²＋50(±7b＋1) が 125の倍数となるのは、

　±7b＋1 が 5の倍数となるときで、整数 c を用いて b＝5c±2 (複号同順) と表され、

　n＝25b±7＝25(5c±2)±7＝125c±57 です。

　n が奇数のとき n(n－1)(n＋1) は 8の倍数になり、

　n が偶数のとき n⁴－1 は奇数だから (1)より n は 8の倍数である必要があり、

　n は奇数か 8の倍数のときです。

　n＝193，307，432，443，557，568，693，807，943 の 9個で、総和は 4943 です。


☆ ３桁という条件をはずすと、k が奇数であれば、

　(1000－n)^k－(1000－n)≡(－n)^k－(－n)≡－(n^k－n) (mod 1000) だから、

　n∈Ｓ_k と 1000－n∈Ｓ_k は同値です。

　よって、n＝5a＋2 の場合を求め、このとき、n＝125c＋57 、

　n＝57，307，432，557，807 、 1000－n＝943，693，568，443，193 とすれば複号で煩わされませんし、

　そのうちの３桁の数の総和は 5000－57＝4943 です。


☆ 下３桁が３乗してもとの数に一致する３桁の自然数は

　125，249，251，375，376，499，501，624，625，749，751，875，999 で、

　太字の数は２乗したとき下３桁がもとの数に一致します。

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