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[答944] 1の7乗根

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答944] 1の7乗根


 1の7乗根のうち 1以外のものを z1 ,z2 ,z3 ,z4 ,z5 ,z6 とするとき、

 1/(1-2z1)+1/(1-2z2)+1/(1-2z3)+1/(1-2z4)+1/(1-2z5)+1/(1-2z6)=?


[解答1]

 f(x)=1/(x-z1)+1/(x-z2)+1/(x-z3)+1/(x-z4)+1/(x-z5)+1/(x-z6) とおけば、

 求める値は (1/2)f(1/2) です。

 g(x)=(x-z1)(x-z2)(x-z3)(x-z4)(x-z5)(x-z6) とおけば、f(x) を通分して f(x)=g'(x)/g(x) です。

 (x-1)g(x)=x7-1 なので、

 g(x)=x6+x5+x4+x3+x2+x+1 、g(1/2)=127/64 、

 g'(x)=6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1 、g'(1/2)=120/32 になり、 

 (1/2)f(1/2)=(1/2)g'(1/2)/g(1/2)=(1/2)(120/32)(64/127)=120/127=0.94488188976…… です。


[解答2]

 k=1,2,3,4,5,6 において、1-2zk=xk とおけば、zk≠1 より 1/xk≠-1 、

 また、2zk=1-xk を7乗して、128=1-7xk+21xk2-35xk3+35xk4-21xk5+7xk6-xk7

 127+7xk-21xk2+35xk3-35xk4+21xk5-7xk6+xk7=0 、

 127(1/xk)7+7(1/xk)6-21(1/xk)5+35(1/xk)4-35(1/xk)3+21(1/xk)2-7(1/xk)+1=0 、

 よって、-1,1/xk は 127x7+7x6-21x5+35x4-35x3+21x2-7x+1=0 の7個の解で、

 解と係数の関係により、-1+1/x1+1/x2+1/x3+1/x4+1/x5+1/x6=-7/120 、

 1/x1+1/x2+1/x3+1/x4+1/x5+1/x6=120/127=0.94488188976…… です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

我が家の庭では咲き遅れた1輪が雨にうたれてうなだれています~
花びらの白が眩しく感じられ~

樹☆  
No title

おはようございます
シュウメイギクはほんとに健気でかわいいです。
ピンクも好きだけど・・白花は特にすてきです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
なんとか考えて...[解答2]もどきに辿り着けました... ^^;;
[解答1]は面白いですね☆
思いつきももしない発想です…^^;
このような関係があるんですねぇ♪

アキチャン  
No title

こんばんわ。
白いお花、すきです♪
きれいですね(o^-^o)

こっこちゃん  
No title

白の秋明菊

清楚で好きですよ

染まりの知らない白が良いですよね ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

真っ白な秋明菊が綺麗ですね♪
此の花も大好きな花です

ニリンソウ  
No title

白のシュウメイギクうちのは撮り損ねました。
まだ咲いてるかな?
今日も歩くと汗を拭き拭き紅葉狩り
明日からは寒くなりそうです。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
永く咲いてくれている秋明菊も少なくなってきましたので、
慌てて記事に使いました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントをありがとうございます。
この秋明菊は比較的花弁の形が揃っていますが、
不揃いなのもあって個性的ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
[解答1]は思いつきにくいと思っていましたが、
みなさん、流石でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この花弁は本当に白いですね。
透明感のある白もいいのですが、不透明な白も綺麗です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントをありがとうございます。
白の秋明菊は、仰る通り、清楚ですね。
色褪せる前にに散ってしまいますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私も白の秋明菊が好きなのですが、
今年はなかなか見られませんでした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
少し前の写真ですので、今はこんなには咲いていないと思いますが、
まだ、少しは他の所でも見かけます。