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[答945] 約数の総和

ヤドカリ

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[答945] 約数の総和


 自然数 n に対して、その正の約数の和を S(n)で表すことにします。

 例えば、 S(12)=1+2+3+4+6+12=28 ですが、

 12 のように S(n)>2n を満たす n を過剰数といいます。

 では、奇数の過剰数で最小のものと2番目に小さいものは?


[解答]

 T(n)=S(n)/n とおけば、T(n)>2 を満たす奇数 n を求めることになります。

 まず、互いに素な A,B に対して、S(AB)=S(A)S(B) より T(AB)=T(A)T(B) になります。

 p を素数として、S(pk)=(pk+1-1)/(p-1)<pk+1/(p-1) より、

 T(pk)<p/(p-1)=1+1/(p-1) になります。

 次に、T(pk)=(pk+pk-1+pk-2+……+1)/pk=1+p-1+p-2+……+p-k で、

 k を固定し、T(pk) を p の関数と見れば 単調減少です。

 T(pk+1)/T(pk)=(1+p-1+p-2+……+p-k+p-k-1)/(1+p-1+p-2+……+p-k)

  =1+p-k-1/(1+p-1+p-2+……+p-k)=1+1/(pk+1+pk+pk-1+……+p) で、

 k を固定し、T(pk+1)/T(pk) を p の関数と見れば 単調減少です。

 たとえば、

 T(3)=1+1/3=4/3,T(5)=1+1/5=6/5,T(7)=1+1/7=8/7,T(11)=1+1/11=12/11,
 T(13)=1+1/13=14/13,

 T(9)/T(3)=1+1/(9+3)=13/12,T(25)/T(5)=1+1/(25+5)=31/30,T(49)/T(7)=1+1/(49+7)=57/56,

 T(27)/T(9)=1+1/(27+9+3)=40/39,T(125)/T(25)=1+1/(125+25+5)=156/155 です。

 n を素因数分解して、素因数が1種類のとき、明らかに T(n)<2 です。

 n を素因数分解して、素因数が2種類のとき、明らかに T(n)<(3/2)(5/3)=15/8<2 です。

 よって、T(n)>2 を満たすのは、n を素因数分解して、素因数が3種類以上のときです。

 n が素数3個の積のとき、

 n=3・5・7 のときに n が最小で T(n) が最大ですが、

 T(3・5・7)=(4/3)(6/5)(8/7)=64/35<2 となって 適しません。

 n が素数4個の積のとき、

 n=3・5・7・11 のときに T(n) が最大ですが、

 T(3・5・7・11)=(64/35)(12/11)=768/385<2 となって、適しません。

 n が素数5個の積のとき、

 小さい方から2個の n は、n=33・5・7,32・52・7 ですが、

 T(32・5・7)=T(3・5・7・3)=(64/35)(13/12)=208/105=2・(104/105) に注意すれば、

 T(32・5・7・3)=2・(104/105)(40/39)>2 、

 T(32・5・7・5)=2・(104/105)(31/30)>2 となって、いずれも適します。

 小さいほうから2個は、33・5・7=945,32・52・7=1575 です。


☆ n=32・5・7・p (p は 103 以下の奇素数) についても T(n)>2 になります。

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Comments 10

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スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
似た感じで考えましたぁ☆
この手法でも奇数の完全数がないことは証明できないのか知らん?

大文字草でしたっけ ^^☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます!!

大文字草が綺麗ですね♪
色んな色がありますが濃いピンクの花に真っ白の蕊が
輝いていますね!!

ナイス♪

ひとりしずか  
No title

わぁ~
花びらの色がいっそうかわいく感じさせて~

ニリンソウ  
No title

ダイモンジソウですね~
真っ赤ですね。
お山で咲くのは白ばっかりみますがこんな色も
あったらみたいですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この誰でも思いつく方法で奇数の完全数がないことを証明できれば、
未解決問題にはなっていないでしょう。
もちろん、勘違いで「証明できた」とする人がいるかも知れません。
花は仰る通り大文字草です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
大文字草は園芸種が多く、いろんな品種がありますね。
赤いだけに蕊が目立っていました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
濃いピンクですが、ピンクの花は可愛い感じがしますね。
大文字草の花自体が小さいのもいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
白が多いだけに赤いのは目立ちますね。
これは園芸種で、品種名までは分かりませんが、
花の文化園の温室で見ました。

樹☆  
No title

こんばんは
ダイモンジソウ・・白いのしか見たことがないから
なんだか違うお花みたいです。鮮やかですね。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ダイモンジソウの品種はいろいろあるようです。
明日は白いのにしますね。