[答945] 約数の総和

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[答945] 約数の総和


　自然数 n に対して、その正の約数の和を S(n)で表すことにします。

　例えば、 S(12)＝1＋2＋3＋4＋6＋12＝28 ですが、

　12 のように S(n)＞2n を満たす n を過剰数といいます。

　では、奇数の過剰数で最小のものと２番目に小さいものは？


[解答]

　T(n)＝S(n)/n とおけば、T(n)＞2 を満たす奇数 n を求めることになります。

　まず、互いに素な A，B に対して、S(AB)＝S(A)S(B) より T(AB)＝T(A)T(B) になります。

　p を素数として、S(p^k)＝(p^k+1－1)/(p－1)＜p^k+1/(p－1) より、

　T(p^k)＜p/(p－1)＝1＋1/(p－1) になります。

　次に、T(p^k)＝(p^k＋p^k-1＋p^k-2＋……＋1)/p^k＝1＋p^-1＋p^-2＋……＋p^-k で、

　k を固定し、T(p^k) を p の関数と見れば 単調減少です。

　T(p^k+1)/T(p^k)＝(1＋p^-1＋p^-2＋……＋p^-k＋p^-k-1)/(1＋p^-1＋p^-2＋……＋p^-k)

　 ＝1＋p^-k-1/(1＋p^-1＋p^-2＋……＋p^-k)＝1＋1/(p^k+1＋p^k＋p^k-1＋……＋p) で、

　k を固定し、T(p^k+1)/T(p^k) を p の関数と見れば 単調減少です。

　たとえば、

　T(3)＝1＋1/3＝4/3，T(5)＝1＋1/5＝6/5，T(7)＝1＋1/7＝8/7，T(11)＝1＋1/11＝12/11，
　T(13)＝1＋1/13＝14/13，

　T(9)/T(3)＝1＋1/(9＋3)＝13/12，T(25)/T(5)＝1＋1/(25＋5)＝31/30，T(49)/T(7)＝1＋1/(49＋7)＝57/56，

　T(27)/T(9)＝1＋1/(27＋9＋3)＝40/39，T(125)/T(25)＝1＋1/(125＋25＋5)＝156/155 です。

　n を素因数分解して、素因数が１種類のとき、明らかに T(n)＜2 です。

　n を素因数分解して、素因数が２種類のとき、明らかに T(n)＜(3/2)(5/3)＝15/8＜2 です。

　よって、T(n)＞2 を満たすのは、n を素因数分解して、素因数が３種類以上のときです。

　n が素数３個の積のとき、

　n＝3･5･7 のときに n が最小で T(n) が最大ですが、

　T(3･5･7)＝(4/3)(6/5)(8/7)＝64/35＜2 となって 適しません。

　n が素数４個の積のとき、

　n＝3･5･7･11 のときに T(n) が最大ですが、

　T(3･5･7･11)＝(64/35)(12/11)＝768/385＜2 となって、適しません。

　n が素数５個の積のとき、

　小さい方から２個の n は、n＝3³･5･7，3²･5²･7 ですが、

　T(3²･5･7)＝T(3･5･7･3)＝(64/35)(13/12)＝208/105＝2･(104/105) に注意すれば、

　T(3²･5･7･3)＝2･(104/105)(40/39)＞2 、

　T(3²･5･7･5)＝2･(104/105)(31/30)＞2 となって、いずれも適します。

　小さいほうから２個は、3³･5･7＝945，3²･5²･7＝1575 です。


☆ n＝3²･5･7･p (p は 103 以下の奇素数) についても T(n)＞2 になります。

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