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[答946] 3つの数列

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答946] 3つの数列


 2つの数列{ an },{ bn }から 次の数列を作り、第n項を cn とします。

  a1b1 ,a1b2 ,a2b2 ,a2b3 ,a3b3 ,a3b4 ,……

 a1=b1 ,{ bn }が公差が 2 の等差数列,{ an }の初項から第n項の和が cn のとき、 c43=?


[解答]

 まず、a1=b1 ,c1=a1b1=a1 より a1=b1=0,1 、 c2n-1=anbn ,c2n=anbn+1 ,c2n+1=an+1bn+1 です。

 a2n=c2n-c2n-1=anbn+1-anbn=an(bn+1-bn)=2an 、 a2n+1=c2n+1-c2n=an+1bn+1-anbn+1=bn+1(an+1-an) 、

 まとめると、a2n=2an ,a2n+1=bn+1(an+1-an) です。

 a1=b1=0 のとき、

  a2n=2an より、 0 以上の整数 m について、n=2m と表されるとき an=0 です。

  a2n=2an ,a2n+1=bn+1(an+1-an) より、

  a3=b2(a2-a1)=0 ,a5=b3(a3-a2)=0 ,a6=2a3=0 ,a7=b4(a4-a3)=0 のように、

  a2n,a2n+1 を求めるとき 2n 未満の k について ak=0 が成り立っていますので、

  a2n=2an=0 , a2n+1=bn+1(an+1-an)=0 になり、

  すべての自然数 k について ak=0 が成り立ちます。

  { an }の初項から第43項の和は c43=0+0+……+0=0 です。

 a1=b1=1 のとき、

  b1=1 ,{ bn }が公差が 2 の等差数列 ですので、bn=2n-1 です。

  a2n=2an より、 0 以上の整数 m について、n=2m と表されるとき an=2m=n です。

  a2n=2an ,a2n+1=bn+1(an+1-an)=(2n+1)(an+1-an) より、

  a3=3(a2-a1)=3 ,a5=5(a3-a2)=5 ,a6=2a3=6 ,a7=7(a4-a3)=7 のように、

  a2n,a2n+1 を求めるとき 2n 未満の k について ak=k が成り立っていますので、

  a2n=2an=2n , a2n+1=(2n+1)(an+1-an)=(2n+1)(n+1-n)=2n+1 になり、

  すべての自然数 k について ak=k が成り立ちます。

  { an }の初項から第n項の和は c43=1+2+……+43=43(43+1)/2=946 です。

 まとめると、c43=0,946 です。


[参考]

 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,……

 1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,……

 を前から順に掛けていくと、

 1・1,1・3,2・3,2・5,3・5,3・7,4・7,4・9,5・9,5・11,6・11,6・13,…… は、

 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,…… になり、三角数の数列です。

 このことに気づいて問題にしてみました。

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Comments 7

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
眉刷毛万年青が綺麗ですね♪

私のも一輪咲いてくれました!!
名前の通りお化粧の刷毛の様ですね!!

ナイス♪

ひとりしずか  
No title

きれいに刷毛になっていますね~

樹☆  
No title

こんにちは
眉というより・・チークに使う刷毛のよう^^
いっぱい咲いてますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、鍵コメントをありがとうございます。
正解・不正解は書かれていることで判断しています。
解き方については、説明不十分で理解できないことも多々あります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
刷毛に似ているのでこの名前になったのだと容易に想像できますが、
この花粉は、肌にとってどうなのだろうと思ってしまいます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
形が整っていますね。
蕊が主役の花ですが、考えてみると不思議です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
チークに使うと花粉で黄色になりそう(笑)。
仰る通り、い~っぱい咲いていましたょ。