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[答947] 底辺の3等分

ヤドカリ

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[答947] 底辺の3等分


 △ABCの辺BCの3等分点のうち、Bに近い方をDとします。

 AB=AC で、AB,BD,DAの長さが自然数になる△ABCのうち、

 DAの長さが最短になるものについて、(AB,BD,DA)=?


[解答]

 BCの中点をM,AB=a,BD=b,DA=|c| とします。

 AM2=AB2-BM2=AD2-DM2 より、AB2-AD2=BM2-DM2 、a2-c2=(3b/2)2-(b/2)2

 (a+c)(a-c)=2b2 です。

 ここで、a+c,a-c は両方偶数か両方奇数ですが、積が偶数なので、両方偶数です。

 a+c,a-c の最大公約数を 2g とすれば、互いに素な自然数 m,n を用いて、

 c<0 の場合も考えれば、a+c=2・2gm2,a-c=gn2 としても一般性は失われません。

 このとき、a=g(2m2+n2),b=2gmn,c=g(2m2-n2) になります。

 また、AB+AC>BC より、2a>3b だから、2g(2m2+n2)>6gmn 、2m2-3mn+n2>0 、

 (n-m)(n-2m)>0 、n<m または 2m<n です。

 |c| が最小のときは、g=1 で、a=2m2+n2,b=2mn,c=2m2-n2 になり、

 n<m の場合、c=2m2-n2>0 、

  n=1 のとき m=2 で c の最小値は 7 、

  n=2 のとき m=3 で c の最小値は 14 、

  n≧3 のとき c=2m2-n2>2n2-n2=n2≧9 です。

 2m<n の場合、c=2m2-n2<0 だから |c|=-2m2+n2

  m=1 のとき n=3 で |c| の最小値は 7 、

  m≧2 のとき |c|=-2m2+n2>-2m2+4m2=2m2≧8 です。

 よって、(m,n)=(2,1),(1,3) のとき |c| の最小値は 7 で、

 (AB,BD,DA)=(a,b,|c|)=(9,4,7),(11,6,7) です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

ランの種類でしょうか~
芯の部分に特徴ありますね!

樹☆  
No title

おはようございます
欄の花は豪華ですね。小さくても存在感があります。
このお花の形で斑点があったのを見たことがあります。
一度東京ドームの「世界の蘭展」観てみたいです。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
温室でしょうか。いい色合いですね♪
いつも綺麗なお花が見れて好きな場所です(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
蘭の花は豪華に見えますね。
種類が多く、花によっていろんな特徴があるのが蘭の花ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
蘭の花は小さくても存在感があります。
バンダと呼ばれる蘭の花は斑点があるのが多いですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、温室で見た蘭の花です。
温室は季節感がないですが、いつも花が見られるのがいいですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
なんとか解けましたというか求まりましたが…
ここのところ...天気晴朗なれど難度高しです ^^;
次の問題も...手がかりが見つけられましぇん…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
このような問題は調べるだけなのですが、
どれだけ能率よくもれなく探すかですね。