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[答949] 正方形の個数

ヤドカリ

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[答949] 正方形の個数


 マス目の間隔が 1 の方眼紙があって、縦横の線の交点を格子点ということにします。

 1つの方眼の中心を中心として半径が 6 の円を描くと、

 円内に格子点は 112個,方眼(黄色)は 89個,円周にかかる方眼は 48個あります。

 1つの方眼の中心を中心として半径が 18 の円を描くと、円内に格子点は 1020個ありますが、

 円内にある方眼は何個? また、円周にかかる方眼は何個?


[解答]

 a,b を自然数として、(a-1/2)2+(b-1/2)2=a2+b2-a-b+1/2 は

 自然数にならないので、格子点は半径が自然数の円周上にくることはありません。

 円の半径を n とし、円内の格子点の数を m とし、まず、円内だけを考察します。

 中央の方眼の頂点である格子点が 4個、

 中央の方眼と同じ行または列に並ぶ方眼 4(n-1)個については 方眼1個につき格子点 2個が対応し、

 それ以外の方眼1個につき格子点が 1個対応するから、

 方眼の数は 1+4(n-1)+{m-4-2・4(n-1)}=m-4n+1 です。

 次に、円周は、方眼の縦線 2n 本と 横線 2n 本と 2ヶ所ずつで交わるので、

 全部で 2(2n+2n)=8n ヶ所で交わります。

 方眼の長さ1の1辺と 2ヶ所以上で交わることはないので、8n 個の方眼を通過することになります。

 本問では n=18,m=1020 なので、

 円内の方眼は 1020-4・18+1=949 個、円周にかかる方眼は 8・18=144 個です。


[参考]

 円の面積を求めるのに、円周にかかる方眼の円内の面積を平均 1/2 と見なせば、

 (m-4n+1)+8n/2=m+1 になります。

 この考え方をすれば、半径が 18 の円の面積は 1020+1=1021 見なせます。

 π≒1021/182=3.1512345679…… の精度については何とも言えません。

 プログラムで計算すれば、π≒(m+1)/n2 は次のようになりました。

 n=100 のとき π≒3.1429
 n=1000 のとき π≒3.141677
 n=10000 のとき π≒3.14159389
 n=100000 のとき π≒3.1415926933
 n=1000000 のとき π≒3.141592655989
 n=10000000 のとき π≒3.14159265361409
 n=100000000 のとき π≒3.1415926535938737

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Comments 12

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アキチャン  
No title

おはようございます。
なんと鮮やかな!
…青々とした空にかわいい色の(o^-^o)

ひとりしずか  
No title

わぁ~
なんて清々しい~

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
おもしろい好きな問題でした☆
解答のように対応できること納得!!
最初の1行をいわなきゃ(円周が格子点を通っていないことから)円の交わる格子点の個数はすぐ求められないのでした…^^;
円周率を求める近似になると思いましたが…♪
円内の格子点の個数の求め方がよくわかりません…?…Orz~

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
可愛いオレンジのダリア!!

お日様に向かい歌を歌っているようですね♪

ナイス♪

ゆうこ つれづれ日記  
No title

これはダリアですね。
いま、ブロ友のみなさんに、美しい皇帝ダリアを見せてもらっていました。
そんな中このようなダリアを見るとまた違った神秘的さが感じますね。
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
薄いオレンジ色のダリアです。
青空を背景に撮ると色が引き立ちました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
青空のもとに咲く花は清々しいですね。
特に秋は晴れると空が植物を綺麗に見せます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
円内の格子点は結局は数えることになります。
プログラムを組んで数えました。
もちろん、能率を上げるために計算も使いました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントをありがとうございます。
晴れた空がダリアを綺麗に見せてくれました。
「歌を歌っているように」は気づきませんでした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
皇帝ダリアもよく見かけますが、
大きくてなかなか気に入る写真になりません。
花弁が多いダリアも見かけますが、シンプルなのが好きです。

ニリンソウ  
No title

わー青空だったんですか!
オレンジ色のダリアが笑っているようですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
1週間前の青空のときに撮りました。
オレンジ色ですが清々しく感じました。