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[答950] 三角形の辺になる3個の数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答950] 三角形の辺になる3個の数


 三角形の3辺の長さとなりうるように、50以下の自然数から異なる3個を選ぶ方法は何通り?


[解答1]

 n 以下の自然数から三角形の3辺の長さとなりうる異なる3個を選ぶ方法の数を求めます。

 選ぶ数を x,y,k (x<y<k) とすれば、x<y<k,x+y>k を満たせばよいので、

 k を固定し、図のような水色の領域の(黒の)格子点の個数を求めます。

 境界線上の(赤の)格子点の個数は 2n で、

 領域の面積は、k が偶数のとき、k2/4 、k が奇数のとき、k2/4-1/4 、

 いずれの場合も k2/4-1/8+(-1)k/8 になります。

 ピックの定理により、黒の格子点の個数は

 k2/4-1/8+(-1)k/8-(2k/2-1)=k2/4-k+7/8+(-1)k/8 、

 k=1,2,……,n として加えると、

 n(n+1)(2n+1)/24-n(n+1)/2+7n/8-{1-(-1)n}/16

  =n(n-2)(2n-5)/24 or n(n-2)(2n-5)/24-1/8 なので、

 ガウス記号を使って、[n(n-2)(2n-5)/24] 通りです。

 本問では n=50 で、[50(50-2)(2・50-5)/24]=9500 通りです。


[解答2]

 n 以下の自然数から三角形の3辺の長さとなりうる異なる3個を選ぶ方法の数を求めます。

 x,y,z (x<y<z) を選ぶ方法が n3 通りあり、

 x+y>z の場合は三角形の3辺の長さとなり、

 x+y<z の場合は (z-x)+(z-y)>z ですので、z-x,z-y,z が三角形の3辺の長さとなり、

 x+y>z の場合と 1:1 に対応します。

 x+y=z である場合の数については、

 x,z (x<z) を選ぶ方法が n2 通りあり、y=z-x とすれば、

 x<y の場合と x>y の場合が同数あり、

 x=y の場合は (x,y,z)=(k,k,2k) と表される [n/2] 通り、

 x+y=z である場合の数については、(n2-[n/2])/2 通りです。

 よって、求める場合の数を N とすれば、

 N={n3-(n2-[n/2])/2}/2=n3/2-n2/4+[n/2]/4

  =n(n-1)(n-2)/12-n(n-1)/8+[n/2]/4

 [n/2]=n/2 または n/2-1/2 ですので、[n/2]/4=n/8 または n/8-1/8 となり、

 N=[n(n-1)(n-2)/12-n(n-1)/8+n/8]=[n(n-2)(2n-5)/24] です。

 本問では n=50 で、[50(50-2)(2・50-5)/24]=9500 通りです。

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Comments 12

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アキチャン  
No title

おはようございます。
さくらのように見えますが、何のお花でしょう?かわいいですね(o^-^o)

ひとりしずか  
No title

これから向かう季節忘れそう~
蕾もたくさんあるようですネ

uch*n*an  
No title

この問題は,[解答2]のような解法があるだろうな,と思ったものの,
少しバタバタしていてじっくり考える時間が取れず,半ばやっつけ仕事の感覚で,
ピックの定理を使わず単純にΣ計算の繰り返しの[解答1]でした。
なお,[解答1]の
>いずれの場合も k^2/4-1/8+(-1)^k になります。
及びその後は,k^2/4 - 1/8 + (-1)^k/8,でしょうか。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
10月桜でしょうか(・・?
最近彼方此方で今の時期に桜の花を見かける様になり季節感が薄れてしまいます

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは地道に数え上げたようなものですが…^^;
グラフの格子点で考えられそうと思うも...そこからどうしたものかと…
タイムアップ …but…やっぱりこのようには...思い付けませんわ ^^;;…Orz~

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、桜です。
ヒマラヤザクラという年末に咲く桜ですが、今年は早く咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
これから寒くなっていきますが、ヒマラヤザクラは年末に咲きます。
今から咲く花も多いので蕾もたくさんついていました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントと脱字の指摘ををありがとうございます。
訂正させて頂きました。
Σ計算を減らすためのピックの定理でしたが、Σの計算の方が自然ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
十月桜でなく、ヒマラヤザクラでした。
この時期に綺麗な桜が見られてラッキーです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
地道に数えるのが一番ですが、
それを一般化するのに工夫が必要ですね。

樹☆  
No title

これも?少し薄い
薄紅色のサクラもかわいいです。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
長居植物園に咲いていたヒマラヤザクラです。
かなり白に近いピンクですが、この時期に見られるのが嬉しいです。