[答951] 0,1,4,9でできる平方数
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[答951] 0,1,4,9でできる平方数
1144900(=10702) のように 0,1,4,9 以外の数字を使わない平方数を
「平方数字の平方数」ということにします。
では、(1000+n)2,(1000-n)2 の両方が「平方数字の平方数」になるような 999以下の自然数nの値は?
[解答]
まず、(1000-n)2 が平方数字の平方数になる条件で絞ります。
0<(1000-n)2<1000000 です。
0<(1000-n)2<200000 のとき、
0<1000-n<500 、1500<1000+n<2000 、2250000<(1000+n)2<4000000 で適しません。
400000≦(1000-n)2<500000 のとき、
630<1000-n<710 、1290<1000+n<1370 、1664100<(1000+n)2<1876900 で適しません。
900000≦(1000-n)2<920000 のとき、949≦1000-n≦959 、41≦n≦51 です。
940000≦(1000-n)2<950000 のとき、970≦1000-n≦974 、
1026≦1000+n≦1030 、1052676≦(1000+n)2≦1060900 で、適しません。
990000≦(1000-n)2<1000000 のとき、995≦1000-n≦999 、1≦n≦5 です。
まとめると、1≦n≦5 ,41≦n≦51 に絞られます。
n の一の位が 4,5,6 のときは (1000±n)2 の一の位が 6,5,6 で適しませんので、
更に、n=1,2,3,41,42,43,47,48,49,50,51 に絞られます。
n=1,2,3 のとき
(1000±n)2=1000(1000±2n)+n2 の 千の位は 2n,10-2n 、
n=1,2,3 のいずれにおいても、2n,10-2n のいずれかは 0,1,4,9 になりません。
n=41,42,43,47,48,49,50,51 のとき
(1000±n)2=1000(1000±2n)+n2 と n2 の 下3桁は一致します。
また、(n-50)2<100 だから、n2-100n+2500<100 になって、
n2 の 上2桁は n-25 と等しくなります。
よって、(1000±n)2 の 百の位は n-25 の一の位と一致します。
これが 0,1,4,9 にになるのは n=49 だけです。
実際、(1000±49)2=1000(1000±98)+2401=1100401,904401 は適します。
[参考]
プログラムで 100002 以下の10の倍数以外の「平方数字の平方数」を求めた結果です。
12=1,22=4,32=9,72=49,122=144,212=441,382=1444,972=9409,
1022=10404,1072=11449,1382=19044,2012=40401,2122=44944,
6482=419904,7012=491401,9512=904401,9972=994009,
10022=1004004,10072=1014049,10492=1100401,13932=1940449,
20012=4004001,31482=9909904,31532=9941409,34512=11909401,
37432=14010049,37472=14040009,44622=19909444,63572=40411449,
70012=49014001,70712=49999041,97012=94109401,99972=99940009
中でも √1100401=1049 は、0,1,4,9 以外の数字を使わない式です。
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