[答951] 0,1,4,9でできる平方数

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[答951] 0,1,4,9でできる平方数


　1144900(＝1070²) のように 0，1，4，9 以外の数字を使わない平方数を

　「平方数字の平方数」ということにします。

　では、(1000＋n)²，(1000－n)² の両方が「平方数字の平方数」になるような 999以下の自然数ｎの値は？


[解答]

　まず、(1000－n)² が平方数字の平方数になる条件で絞ります。

　0＜(1000－n)²＜1000000 です。

　0＜(1000－n)²＜200000 のとき、

　 0＜1000－n＜500 、1500＜1000＋n＜2000 、2250000＜(1000＋n)²＜4000000 で適しません。

　400000≦(1000－n)²＜500000 のとき、

　 630＜1000－n＜710 、1290＜1000＋n＜1370 、1664100＜(1000＋n)²＜1876900 で適しません。

　900000≦(1000－n)²＜920000 のとき、949≦1000－n≦959 、41≦n≦51 です。

　940000≦(1000－n)²＜950000 のとき、970≦1000－n≦974 、

　 1026≦1000＋n≦1030 、1052676≦(1000＋n)²≦1060900 で、適しません。

　990000≦(1000－n)²＜1000000 のとき、995≦1000－n≦999 、1≦n≦5 です。

　まとめると、1≦n≦5 ，41≦n≦51 に絞られます。

　n の一の位が 4，5，6 のときは (1000±n)² の一の位が 6，5，6 で適しませんので、

　更に、n＝1，2，3，41，42，43，47，48，49，50，51 に絞られます。

　n＝1，2，3 のとき

　 (1000±n)²＝1000(1000±2n)＋n² の 千の位は 2n，10－2n 、

　 n＝1，2，3 のいずれにおいても、2n，10－2n のいずれかは 0，1，4，9 になりません。

　n＝41，42，43，47，48，49，50，51 のとき

　 (1000±n)²＝1000(1000±2n)＋n² と n² の 下３桁は一致します。

　 また、(n－50)²＜100 だから、n²－100n＋2500＜100 になって、

　 n² の 上２桁は n－25 と等しくなります。

　 よって、(1000±n)² の 百の位は n－25 の一の位と一致します。

　 これが 0，1，4，9 にになるのは n＝49 だけです。

　 実際、(1000±49)²＝1000(1000±98)＋2401＝1100401，904401 は適します。


[参考]

　プログラムで 10000² 以下の10の倍数以外の「平方数字の平方数」を求めた結果です。

　　1²＝1，2²＝4，3²＝9，7²＝49，12²＝144，21²＝441，38²＝1444，97²＝9409，

　　102²＝10404，107²＝11449，138²＝19044，201²＝40401，212²＝44944，

　　648²＝419904，701²＝491401，951²＝904401，997²＝994009，

　　1002²＝1004004，1007²＝1014049，1049²＝1100401，1393²＝1940449，

　　2001²＝4004001，3148²＝9909904，3153²＝9941409，3451²＝11909401，

　　3743²＝14010049，3747²＝14040009，4462²＝19909444，6357²＝40411449，

　　7001²＝49014001，7071²＝49999041，9701²＝94109401，9997²＝99940009

　中でも　√1100401＝1049　は、0，1，4，9 以外の数字を使わない式です。

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