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[答952] 原点からの距離

ヤドカリ

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[答952] 原点からの距離


 xy平面上の x軸上にP,y軸上にQ をとって、PQ=PR=7,QR=4 である △PQRを作ります。

 原点OとRの距離 OR が最小のときの OP+OQ の値は?


[解答1]

 まず、余弦定理より cos∠QPR=(72+72-42)/(2・7・7)=41/49 、sin∠QPR=(12√5)/49 になります。

 x軸上の負でない部分にP,y軸上の負でない部分にQ をとっても一般性を失いませんので、

 0≦θ≦π/2 として P(7cosθ,0),Q(0,7sinθ) とおくことができます。

 これを、P(7cosθ),Q(7i・sinθ)になるように複素平面上に写し、R(z)とします。

 (z-7cosθ)/(7i・sinθ-7cosθ)=41/49+(12√5)i/49 だから、

 z=7cosθ+{41+(12√5)i}(i・sinθ-cosθ)/7

  =〔{8cosθ-(12√5)sinθ}+{41sinθ-(12√5)cosθ}i〕/7 、

 |z|2=〔{8cosθ-(12√5)sinθ}2+{41sinθ-(12√5)cosθ}2〕/49

  =16cos2θ-(24√5)sinθcosθ+49sin2θ

  =16(1+cos2θ)/2-(24√5)(sin2θ)/2+49(1-cos2θ)/2

  =〔65-3{11cos2θ+(8√5)sin2θ}〕/2

 ここで、αを cosα=11/21,sinα=(8√5)/21,0<α<π/2 を満たす角とすれば、

 |z|2={65-63(cos2θcosα+sin2θsinα)}/2={65-63cos(2θ-α)}/2 となって、

 θ=α/2 のとき、|z|2 の最小値は 1 になります。

 このとき、

 (cosθ+sinθ)2=1+sin2θ=1+sinα=1+(8√5)/21=(21+8√5)/21 、

 cosθ+sinθ=(4+√5)/√21 、

 OP+OQ=7(cosθ+sinθ)=7(4+√5)/√21=4√21/3+√105/3=9.525751…… です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 P(p,0),Q(0,q),R(r,s),とします。

 P,Qについては与えられた図で一般性を失わないので,p≧0,q≧0 ,とします。

 PQ=7, p2+q2=49,

 PR=7, (r-p)2+s2=49, r2+s2-2pr+p2=49,

 QR=4, r2+(s-q)2=16, r2+s2-2qs+q2=16,

 後の二つの式を足し,最初の式を使うと,

 r2+s2-pr-qs=8, r2+s2=pr+qs+8, pr+qs=r2+s2-8,

 ここで,OR2=r2+s2 とコーシー・シュワルツの不等式を使うと,

 49・OR2=(p2+q2)(r2+s2)≧(pr+qs)2=(r2+s2-8)2=(OR2-8)2

 (OR2)2-65(OR2)+64≦0,(OR2-1)(OR2-64)≦0,1≦OR2≦64,1≦OR≦8,

 ただし,等号はコーシー・シュワルツの不等式の等号なので,kを実数として,p=kr,q=ks,です。

 今はORの最小を考えるので, OR=1, r2+s2=OR2=1 で, p=kr,q=ks,です。

 これより,pr+qs=r2+s2-8 は k(r2+s2)=r2+s2-8, k=1-8, k=-7,

 つまり,p=-7r,q=-7s です。そこで,

 PR=7, 1-2p(-p/7)+p2=49, (9/7)p2=48, p=4√21/3,

 QR=4, 1-2q(-q/7)+q2=16, (9/7)q2=15, q=√105/3,

 以上より,OP+OQ=p+q=4√21/3+√105/3=9.525751…… になります。


[解答3]

 PQの中点をMとすれば、中線定理により、2(PM2+RM2)=RP2+RQ2

 RM2=(RP2+RQ2)/2-PM2=(72+42)/2-(7/2)2=81/4 、 RM=9/2 です。

 また、OM=PQ/2=7/2 だから、中線RM上にOがあるとき ORは最小になります。(OR=RM-OM=1 です)

 このとき、△OPQ:△RPQ=OM:RM=7/2:9/2=7:9 だから、

 △OPQ=(7/9)△RPQ=(7/9)・(1/2)・4・√(72-22)=(14√5)/3 です。 

 よって、2・OP・OQ=4△OPQ=(56√5)/3 になり、

 OP2+OQ2=PQ2=72=49 だから、

 (OP+OQ)2=OP2+OQ2+2・OP・OQ=49+(56√5)/3=7(21+8√5)/3 となって、

 OP+OQ=(√7)(4+√5)/√3=4√21/3+√105/3=9.525751…… です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

見上げて~見応えありますね・・・

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解答3]は思いつきもしませんでした…☆
で…座標で...[解答2]のように ^^v
ただ…
> r^2+s^2=pr+qs+8
は...=(p,q)(r,s)+8 なので...
(p,q)と(r,s)ベクトルが直線上で反対を向いてるときだから…
r^2+s^2=8-7√(r^2+s^2)
t^2+7t-8=(t-1)(t+8)=0・・・t=√(r^2+s^2)=1
so…r^2+s^2=1 のときとわかり…ギリ、滑り込みセーフ♪
Orz~

こっこちゃん  
No title

皇帝ダリア 満開ですね

背の高さに圧倒されますよね ナイス☆!(^^)!

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
皇帝ダリアはよく見ますが、こんなに沢山咲いているのは珍しく、
見上げて撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
座標の問題にするのがいいのか、初等幾何にするのがいいのか、
迷う所ではありますが、そのときの気分で決めます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
皇帝ダリアは背の高い植物ですね。
どうしても、背景を青空にしたくなります。

さっちゃんこ  
No title

青空に向かって天高く咲く皇帝ダリア
今年は一枚も写真を撮って無かったです

花も大きくて存在感が有りますね♪

ナイス♪

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は何枚か撮りましたが、
土日に限って曇ったり雨だったりでなかなか撮れませんでした。

樹☆  
No title

こんなにいっぱい咲いて・・きれいです。
しかも高いです^^もっと成長しそうですね。
まさしく皇帝です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
高い所に咲くので、撮りにくいのですが、
半透明の花弁が空に映える姿が綺麗です。