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[答93] 四角形の等辺の長さ

ヤドカリ

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[答93] 四角形の等辺の長さ


 図のように、四角形ABCDがあり、AC と BD が O で交わっています。

 ∠AOD=120°, AC=18 , BD=15 , AB=BC=CD=x のとき、xの値は?



[解答1]

 二等辺三角形BACの底辺AC上に AP=CO となるように点Pをとると、△BAP≡△BCO だから、

 BP=BO となって、△BOPは正三角形、AP=CO と PO=BO より、AO=BO+CO になります。

 同様に、BD上に DQ=BO となるように点Qをとると、DO=BO+CO になります。

 AO=DO=BO+CO, AO+DO+(BO+CO)=AC+BD=33 だから、AO=DO=BO+CO=11 で、

 BO=4, CO=7 となります。

 ここまで求めたら、

 △OAB, △OBC, △OCD のいずれで余弦定理を使っても、

 また、二等辺三角形ABC, 二等辺三角形CBD の中線を利用して三平方の定理ででも、

 x2=93 になりますが、

 四角形PQCBが等脚台形で、円に内接するからトレミーの定理より、BC・PQ+BP・CQ=BQ・CP、

 x2+4・7=11・11 から、x2=93、x=√93 となります。

☆ OH+OC=9, OB+OI=15/2 より OB/2+OC=9, OB+OC/2=15/2 からも、

 OB=4, OC=7 が求められます。


[解答2] wind156さんの解答に、計算をつけ加えたものです。

 ∠BAC=∠BCA=α, ∠CBD=∠CDB=βとおくと

 x・cosα=9, x・cosβ=15/2, α+β=60゚ だから、

 2x・cosβ=15、2x・cos(60゚-α)=15、2x(cos60゚cosα+sin60゚sinα)=15、

 x・cosα+(√3)x・sinα=15、9+(√3)x・sinα=15、x・sinα=2√3、

 x2・sin2α+x2・cos2α=(2√3)+9、x2=93 となります。


[解答3] crazy_tomboさんの解答を参考にしたものです。(理由の追加と一部簡略化)

 △ABD≡△DCEになるように四角形ABCDの外に点Eをとります。

 ∠CBO=∠CDO,60゚=∠CBO+∠BCO,∠CDO+∠DCO=120゚,

 ∠BCO=∠BAO,∠BAO+∠ABO=120゚,∠DCE=∠ABO

 を辺々加えて簡単にすると、∠DCE+∠DCO=180゚ となって、

 A,C,Eは一直線上にあることが分かります。

 △ABD≡△DCE と AD=DE より ∠DAC=∠DEC=∠ADB となって、

 △DAE,△OAD は頂角が120゚の二等辺三角形です。

 よって、AD=AE/√3=11√3,OA=OD=AD/√3=11 となります。

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Comments 4

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スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解答]3...理由も書かずに余弦定理で求めた解答だけですみませんでした ^^;
同じことですが...上のα、βを使わせていただいたものをば...Orz

∠ACD=120-β
∠ABD=120-α=∠DCE
∠ACD+∠DCE=240-(α+β)=240-60=180°
α+β=180-120=60・・・△OBCから明らか ^^♪
また...
∠ADE=∠BAD+∠BDA+β=(180-∠ABD)+β
=180-(120-α)+β
=60+(α+β)
=120° ♪

uch*n*an  
No title

皆さんの解法の紹介,ありがとうございます。
私は,[解答1]の三平方の定理版でした。[解答3]も面白いですね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
いきなりの余弦定理の解読は難しいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答3]も面白いです。私には思いつきませんでした。
図が大きくなる煩わしさを無意識に避けていたのかも知れません。