[答953] 正六角錐の体積と表面積
[答953] 正六角錐の体積と表面積
OA=OB=OC=OD=OE=OF=3 である正六角錐O-ABCDEFの体積 V の最大値は?
また、体積が最大になるときの表面積 S は?
[解答1]
底面の正六角形の1辺を a,高さを h とすれば、三平方の定理により a2+h2=9 、
V=6・(1/3){(√3)/4}a2h=(√3)a2h/2=(√3)(9-h2)h/2=(√3)(9h-h3)/2 です。
dV/dh=(√3)(9-3h2)/2=(3√3)(3-h2)/2 となって、
0<h<√3 のとき dV/dh>0 ,√3<h のとき dV/dh<0 なので、h=√3 のとき Vは最大になり、
このとき V=9 、a=√6 です。
側面は3辺が 3,3,√6 の二等辺三角形6個分で、側面積は 6・(3√5)/2=9√5 、
底面は1辺が √6 の正三角形6個分で、底面積は 6・(3√3)/2=9√3 、
よって、S=9(√5+√3) になります。
[解答2]
底面の正六角形の1辺を a,高さを h とすれば、V=6・(1/3){(√3)/4}a2h=(√3)a2h/2 です。
また、三平方の定理により a2+h2=9 、a2+a2+2h2=18 です。
相加・相乗平均の関係により、3√(a2・a2・2h2)≦(a2+a2+2h2)/3 、
3√(2a4h2)≦6 、a4h2≦108 、a2h≦6√3 、
V≦(√3)・(6√3)/2=9 です。
等号が成り立つのは、a2=2h2 のときだから、6h2=18 、h=√3 ,a=√6 です。
側面は3辺が 3,3,√6 の二等辺三角形6個分で、側面積は 6・(3√5)/2=9√5 、
底面は1辺が √6 の正三角形6個分で、底面積は 6・(3√3)/2=9√3 、
よって、S=9(√5+√3) になります。
.