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[答953] 正六角錐の体積と表面積

ヤドカリ

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[答953] 正六角錐の体積と表面積


 OA=OB=OC=OD=OE=OF=3 である正六角錐O-ABCDEFの体積 V の最大値は?

 また、体積が最大になるときの表面積 S は?


[解答1]

 底面の正六角形の1辺を a,高さを h とすれば、三平方の定理により a2+h2=9 、

 V=6・(1/3){(√3)/4}a2h=(√3)a2h/2=(√3)(9-h2)h/2=(√3)(9h-h3)/2 です。

 dV/dh=(√3)(9-3h2)/2=(3√3)(3-h2)/2 となって、

 0<h<√3 のとき dV/dh>0 ,√3<h のとき dV/dh<0 なので、h=√3 のとき Vは最大になり、

 このとき V=9 、a=√6 です。

 側面は3辺が 3,3,√6 の二等辺三角形6個分で、側面積は 6・(3√5)/2=9√5 、

 底面は1辺が √6 の正三角形6個分で、底面積は 6・(3√3)/2=9√3 、

 よって、S=9(√5+√3) になります。


[解答2]

 底面の正六角形の1辺を a,高さを h とすれば、V=6・(1/3){(√3)/4}a2h=(√3)a2h/2 です。

 また、三平方の定理により a2+h2=9 、a2+a2+2h2=18 です。

 相加・相乗平均の関係により、3√(a2・a2・2h2)≦(a2+a2+2h2)/3 、

 3√(2a4h2)≦6 、a4h2≦108 、a2h≦6√3 、

 V≦(√3)・(6√3)/2=9 です。

 等号が成り立つのは、a2=2h2 のときだから、6h2=18 、h=√3 ,a=√6 です。

 側面は3辺が 3,3,√6 の二等辺三角形6個分で、側面積は 6・(3√5)/2=9√5 、

 底面は1辺が √6 の正三角形6個分で、底面積は 6・(3√3)/2=9√3 、

 よって、S=9(√5+√3) になります。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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優美な色と姿!

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
[解答2]の相加相乗の使い方が匠の業ですね☆
微分計算しちゃいましたが…[解答1]よりうんと複雑になってしまいました…^^;…Orz~

ニリンソウ  
No title

アネモネが咲いてもおかしくない天候かな
温かいですね~水仙やタンポポも咲いています。

樹☆  
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わぁ~
すてきな色のアネモネです。こんな時期に?と思いましたが
先日、奈良に行ったら十月さくらと菜の花を見て
すごく感動しました。
気象の異常・・大阪は大雨では?

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
アネモネは赤いのが印象的ですが、この色も素敵です。
季節外れですが、一輪だけポツンと咲いていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
相加相乗の使い方は技巧的ですが、匠の業とまでは言えません。
このような工夫は慣れたらできるようになります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
本来はアネモネの咲く季節ではありませんが、咲いていました。
私も水仙は何度も見ました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
花の文化園に行くと、季節外れのアネモネが1輪咲いていました。
今年は暖かかったからでしょうね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
アネモネがもう咲いているのですネ
アネモネの此の色は大好きな色です

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
「もう」でなく「まだ」咲き残っていました。
この色は品があっていいですね。