[答953] 正六角錐の体積と表面積

[答953] 正六角錐の体積と表面積


　OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝3 である正六角錐O-ABCDEFの体積 V の最大値は？

　また、体積が最大になるときの表面積 S は？


[解答1]

　底面の正六角形の１辺を a，高さを h とすれば、三平方の定理により a²＋h²＝9 、

　V＝6･(1/3){(√3)/4}a²h＝(√3)a²h/2＝(√3)(9－h²)h/2＝(√3)(9h－h³)/2 です。

　dV/dh＝(√3)(9－3h²)/2＝(3√3)(3－h²)/2 となって、

　0＜h＜√3 のとき dV/dh＞0 ，√3＜h のとき dV/dh＜0 なので、h＝√3 のとき Vは最大になり、

　このとき V＝9 、a＝√6 です。

　側面は３辺が 3，3，√6 の二等辺三角形６個分で、側面積は 6･(3√5)/2＝9√5 、

　底面は１辺が √6 の正三角形６個分で、底面積は 6･(3√3)/2＝9√3 、

　よって、S＝9(√5＋√3) になります。


[解答2]

　底面の正六角形の１辺を a，高さを h とすれば、V＝6･(1/3){(√3)/4}a²h＝(√3)a²h/2 です。

　また、三平方の定理により a²＋h²＝9 、a²＋a²＋2h²＝18 です。

　相加･相乗平均の関係により、³√(a²･a²･2h²)≦(a²＋a²＋2h²)/3 、

　³√(2a⁴h²)≦6 、a⁴h²≦108 、a²h≦6√3 、

　V≦(√3)･(6√3)/2＝9 です。

　等号が成り立つのは、a²＝2h² のときだから、6h²＝18 、h＝√3 ，a＝√6 です。

　側面は３辺が 3，3，√6 の二等辺三角形６個分で、側面積は 6･(3√5)/2＝9√5 、

　底面は１辺が √6 の正三角形６個分で、底面積は 6･(3√3)/2＝9√3 、

　よって、S＝9(√5＋√3) になります。

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