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[答954] 四角形内の三角形の面積

ヤドカリ

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[答954] 四角形内の三角形の面積


 面積が 70 の凸四角形ABCDの、ABの中点をM,BCの中点をNとし、辺CD上に点P,DA上に点Qをとって、

 MN//QP の 台形MNPQをつくり、その面積を S とします。

 S の最大値が 36 のとき、△MND=?


[解答]

 △CDA=a ,CP:PD=AQ:QD=(1-x):x (0≦x≦1) とします。

 S=四角形ABCD-△AMQ-△BNM-△CPN-△DQP

  =四角形ABCD-(1/2)(1-x)△ABD-(1/4)△ABC-(1/2)(1-x)△CDB-x2△CDA

  =70-(1/2)(1-x)(△ABD+△CDB)-(1/4)(70-a)-ax2

  =70-(1/2)(1-x)・70-(1/4)(70-a)-ax2

  =-ax2+35x+a/4+35/2

  =-a{x-35/(2a)}2+1225/(4a)+a/4+35/2

 2a≧35 のとき、x=35/(2a) で 最大値 1225/(4a)+a/4+35/2 をとりますので、

  1225/(4a)+a/4+35/2=36 、a2-74a+1225=0 、(a-25)(a-49)=0 、

  a=25,49 です。

 0<2a<35 のとき、x=1 で 最大値 -3a/4+105/2 をとりますので、

  -3a/4+105/2=36 、a=22 で、0<2a<35 を満たしません。

 △MND は x=0 のときの S の値だから、△MND=a/4+35/2=95/4,119/4 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

今の時期にとってもきれいなアサガオの花観られるなんて・・・(^0_0^)

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
すっきりした解法ですね☆
たしかに、わたしのは複雑でしたわ ^^;
>△CDA=a
と置けばよかったんだなぁ ^^;; Orz~

樹☆  
No title

おはようございます
オーシャンブルーですか?
きれいな色です^^
こんな時期でも楽しめるのですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
リュウキュウアサガオの花は今でも咲いています。
時々見かけるこの花に過ぎ去った季節を思い出します。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
△ABCまたは△CDAの面積によって最大値が違うので、
どちらかを文字で表すのが自然だと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
リュウキュウアサガオの花は今の時期でもよく見かけます。
朝顔が沢山咲く季節は暑かったのを思い出します。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
リュウキュウアサガオですか
ピンク色もあるのですネ
此方で見るのは紫色が多いです

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントをありがとうございます。
紫色の花が咲いているときとピンクの花が咲いているときと、
混ざっているときがあります。
不思議なアサガオですね。

ニリンソウ  
No title

不思議なアサガオ!!
こんな時期に咲いてくれて嬉しいアサガオ
人気者でしょうね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
この時期まで咲いてくれるリュウキュウアサガオ、
時々見かけますので親しみがあります。