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[答955] 式の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答955] 式の値


 a/3+b/4+c/5+d/6+e/7=30 ,a/4+b/5+c/6+d/7+e/8=20 ,a/5+b/6+c/7+d/8+e/9=15 ,

 a/6+b/7+c/8+d/9+e/10=12 ,a/7+b/8+c/9+d/10+e/11=10 の

 5個の式すべてを満たす実数 a,b,c,d,e について、a/10+b/11+c/12+d/13+e/14=?


[解答1]

 2a/3+2b/4+2c/5+2d/6+2e/7-60=0 ,3a/4+3b/5+3c/6+3d/7+3e/8-60=0 ,

 4a/5+4b/6+4c/7+4d/8+4e/9-60=0 ,5a/6+5b/7+5c/8+5d/9+5e/10-60=0 ,

 6a/7+6b/8+6c/9+6d/10+6e/11-60=0 です。

 f(x)=ax/(x+1)+bx/(x+2)+cx/(x+3)+dx/(x+4)+ex/(x+5)-60 とおけば、

 f(x)を通分すると分子は5次式以下で、f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=0 だから、

 f(x)=k(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)} と表せ、

 f(0)=-60=-720k/120 ですので、k=10 です。

 ax/(x+1)+bx/(x+2)+cx/(x+3)+dx/(x+4)+ex/(x+5)-60

  =10(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)} なので、

 a/(x+1)+b/(x+2)+c/(x+3)+d/(x+4)+e/(x+5)

  =10(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/{x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)}+60/x です。

 x=9 を代入すれば、

 a/10+b/11+c/12+d/13+e/14=10・7・6・5・4・3/(9・10・11・12・13・14)+60/9

  =5/(3・11・13)+20/3=955/143 です。


[解答2] たけちゃんさんの解答より

 f(x)=-60+ax+bx2+cx3+dx4+ex5として,

 ∫01 xf(x)dx=0,∫01 x2f(x)dx=0.∫01 x3f(x)dx=0,∫01 x4f(x)dx=0,∫01 x5f(x)dx=0.

 よって,xf(x)は,区間[0,1]で 1,x,x2,x3,x4 と直交する高々6次の多項式.

 ずらしルジャンドル多項式

 P5(x)=252x5-630x4+560x3-210x2+30x-1,

 P6(x)=924x6-2772x5+3150x4-1680x3+420x2-42x+1

 の和をとって定数項を消去すると,

 924x6-2520x5+2520x4-1120x3+210x2-12x=(-60+1050x-5600x2+12600x3-12600x4+4620x5)x/5

 となるから,f(x)=-60+1050x-5600x2+12600x3-12600x4+4620x5

 (a,b,c,d,e)=(1050,-5600,12600,-12600,4620).

 よって,a/10+b/11+c/12+d/13+e/14=105-5600/11+1050-12600/13+330=955/143.


☆ ずらしルジャンドル多項式 Pn(x) とは、

 m<n である負でない自然数mに対して ∫01 xmPn(x)dx=0, ∫01 {Pn(x)}2dx=1/(2n+1)

 が成り立つn次式のことで、

  P0(x)=1
  P1(x)=2x-1
  P2(x)=6x2-6x+1
  P3(x)=20x3-30x2+12x-1
  P4(x)=70x4-140x3+90x2-20x+1
  P5(x)=252x5-630x4+560x3-210x2+30x-1
  P6(x)=924x6-2772x5+3150x4-1680x3+420x2-42x+1
  ……

 と続きます。


☆ ずらしルジャンドル多項式についてのたけちゃんさんの説明

 例えば ∫01{(x(x-1))2}''dx=[{(x(x-1))2}']01=0,

 ∫01{(x(x-1))2}''xdx=[{(x(x-1))2}'x]01-∫01{(x(x-1))2}'dx=0

 であり,以下同様に,

 {x(x-1)}n のn階導関数は,[0,1] で xk (k=0,1,…,n-1)と直交します.

 Σを k=0 から k=n の和として {x(x-1)}n=Σ(-1)n-k・(nk)xn+k だから,

 そのn階導関数は Σ(-1)n-knkn+kn・xk=Σ(-1)n-knkn+kn・n!・xk であり,

 Pn(x) は Σ(-x)k(n+k)!/{k!k!(n-k)!} の定数倍とわかります.

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Comments 20

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uch*n*an  
No title

済みません。上記の In = ∫[0,1]{x^n * f(x)}dx の f(x) は,
[解答2]の f(x) から定数項を除いたものだと思ってください。

uch*n*an  
No title

うっかりしました。
普通のルジャンドル多項式では積分区間が [-1,1] でないとだめですね。
だから,x -> 2x-1 とずらすのかな。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
円錐形の紅葉も幹が真っすぐに伸びている姿もいいですね。
今朝は此方でもこの冬一番の寒さでした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
写真にしては単純な色合いだと思います。
パンダほどではありませんが。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私は[解答1]のように解けるよう、数値を設定して作問しました。
もちろん、普通に連立方程式を解くのが面倒なようにです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントをありがとうございます。
ラマヌジャンはインドの天才数学者ですね。
計算ミスする不安から解放された喜びが伝わってきます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
「既存の多項式をそのまま使うのはプログラムを使うのと同様にフェアでない」
かも知れませんが、
作問する私にとっては、問題に価値があるかどうかが大事です。
計算ソフトを使って問題の式を入力したら答が出てきたというのではつまらない問題ですし、
ずらしルジャンドル多項式にまでつながるなら価値ある問題だと思います。
異論もあるとは思いますが、私が趣味でやっているブログですので、
わがままな所はご容赦下さい。
なお、私は積分でこの多項式が問題になることは知っていましたが、
名前は知りませんでしたので、私にとっても勉強になりました。
ところで、「x -> 2x-1 とずらす」というのは理由を含めてその通りです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
こちらでは冬もよく晴れますので、このような景色は何度か見ています。
もっと落葉が進み、寂しい樹もあります。

たけちゃん  
No title

ずらしルジャンドル多項式についてですが,例えば
∫[0..1]((x(x-1))^2)''dx=[((x(x-1))^2)'][0..1]=0,
∫[0..1]((x(x-1))^2)''xdx
=[((x(x-1))^2)'x][0..1]-∫[0..1]((x(x-1))^2)'dx=0
であり,以下同様に,
(x(x-1))^nのn階導関数は,[0..1]でx^k (k=0,1,…,n-1)と直交します.

(x(x-1))^n=Σ[k=0..n](-1)^(n-k)・(nCk)x^(n+k)だから,そのn階導関数は
Σ[k=0..n](-1)^(n-k)・(nCk)((n+k)Pn)x^k
=Σ[k=0..n](-1)^(n-k)・(nCk)((n+k)Cn)(n!)x^k
であり,P[n](x)は
Σ[k=0..n]((-x)^k)((n+k)!/(k!k!(n-k)!))
の定数倍とわかります.

たけちゃん  
No title

というわけで,実は多項式の係数を既知としたのではないのですが,
いずれにしろ,今回の解答は,
知識を使いすぎて反則気味であったと反省しています.
uch*n*anさんが
>既存の多項式をそのまま使うのはプログラムを使うのと同様にフェアでない
とおっしゃるのはもっともなことであると思います.

というか,[解答1]は素晴らしい.完全に脱帽でした.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、ずらしルジャンドル多項式に詳しい説明を有難うございます。
私は、名前も知りませんでしたし、系統立てて分かっていたわけではありませんので、
貴殿の説明を記事の最後に加えさせて頂きました。
「知識を使いすぎて反則気味」と解答の時にも書かれていましたが、
どこまでを「知識」として良いかは私には判断できませんし「反則」とも言えません。
たとえば、Σは3乗まではよく知られていますが、4乗を使うのはどうなのでしょうか。
uch*n*anさんへのコメントにも書きましたように、
作問する私にとっては、問題に価値があるかどうかが大事です。

さっちゃんこ  
No title

今朝は今年初の霜が降り寒い一日でした
此れから一段と寒くなるのでしょうね
メタセコイア今年最後の黄葉ですネ

ナイス☆彡

Nemo  
No title

回答1は全く思いつきませんでした。非常に面白い解き方だと思います。
ずらしルジャンドル多項式を使った解き方を考えたのですが、計算が面倒になり挫折しました(笑)

Nemo  
No title

回答1は、ちょっと数学オリンピックっぽい解き方だと思いました。
工夫がとても面白いです。

Nemo  
No title

数学って、正攻法では攻め落とせないとき、別の分野の定理を使って、別の方角から手品みたいに攻め落とす場合がありますが、今回はそれに近い印象です。
数学の醍醐味の1つですよね

uch*n*an  
No title

たけちゃんさんへ
詳しい解説とお気づかいをありがとうございます。

通常ならば,もちろん[解答2]は興味深く素晴らしい解法だと思います。
むしろ,個人的には,[解答1]よりも面白いと思います。
知識を使うのもいいことだと思うし,知らない人間には勉強になるし有益です。
ただ,今回はプログラムは使用禁止,という解法に対する制約が付いていたので,
答えに深く結び付く数値をただもってきてそのまま使うというのが気になったのです
示してくださった解説のように導入があれば気にならなかったかも知れません。
このブログはやどかりさんのものなのでこれ以上は議論しないことにしましたが,
試験ではないので楽しく自由に解きたいな,という話です。
その意味で,むしろ,たけちゃんさんの姿勢には賛成です。

uch*n*an  
No title

なお,話は変わりますが,[解答1]も見事な解法だと思います。
私のこの方向のアプローチの失敗は,
f(x) = a/(x+1) + b/(x+2) + c/(x+3) + d/(x+4) + e/(x+5) - 60/x
とおいてしまい,そこから抜け出せなかったことのように思います。
似たようなことができますが,肝心の k を求めるときに x = 0 とおけないので,
k は a ~ e の式になってしまい,結局はうまくいきませんでした。
もう一工夫できなかったのが悔やまれます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
メタセコイアの黄葉と真っすぐな姿は美しいと思います。
この色になると、1年の終わりですね。

ヤドカリ  
No title

Nemoさん、コメントをありがとうございます。
私は作問の時に意識しなかったのですが、
いかにもずらしルジャンドル多項式を使えというような係数になってしまいました。
私のが知らなかった「ずらしルジャンドル多項式」という名前を
たけちゃんさんと貴殿が書かれていたので、解答説明に入れました。
ところで、[解答1]への評価を有難うございました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
数式ソフトを使わないように書きましたのは、
例えば、公開されている wolframalpha( http://www.wolframalpha.com/ ) に、
a/3+b/4+c/5+d/6+e/7=30,a/4+b/5+c/6+d/7+e/8=20,a/5+b/6+c/7+d/8+e/9=15,a/6+b/7+c/8+d/9+e/10=12,a/7+b/8+c/9+d/10+e/11=10,a/10+b/11+c/12+d/13+e/14=f
を入力すれば、a~f の値がすべて出てきて、無意味な問題になるからです。
「楽しく自由に」解いて頂ければいいのですが、
「数式ソフトに連立方程式を 解かせるような解き方は 歓迎しません。」
と書いてあるすぐ下に、別の数式ソフトですが、そんな答を書かれると不愉快です。
どうしても答を書き込みたいなら、答だけで十分だと思います。
そんな解答を書かれない貴殿に対しても、不愉快な思いをさせたことはお詫びします。
ところで、[解答1]が想定解で、評価を有難うございました。