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[答956] 正方形と45゚

ヤドカリ

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[答956] 正方形と45゚


 1辺が 72 の正方形ABCDがあって、BP,DQ の長さが自然数,BP<DQ,∠PAQ=45゚ になるように、

 辺BC上に点P,辺DC上に点Q をとるとき、(BP,DQ)=?


[解答1]

 BP=p,DQ=q とすれば 0<p<q です。

 tan(∠PAB+∠QAD)=tan45゚ だから、(tan∠PAB+tan∠QAD)/(1-tan∠PAB・tan∠QAD)=1 、

 tan∠PAB+tan∠QAD=1-tan∠PAB・tan∠QAD 、tan∠PAB・tan∠QAD+tan∠PAB+tan∠QAD+1=2 、

 (tan∠PAB+1)(tan∠QAD+1)=2 、(p/72+1)(q/72+1)=2 、

 (p+72)(q+72)=2・722=27・34=10368 だから、

 p+72 は 27・34 の約数で、72<p+72≦101 になります。

 よって、(p+72,q+72)=(81,128),(96,108) 、(BP,DQ)=(p,q)=(9,56),(24,36) です。


[解答2]

 BP=p,DQ=q とすれば 0<p<q です。

 APに関してBに対称な点,AQに関してDに対称な点が一致し、PQ上にあるから、

 △CQPにおいて、三平方の定理より、CP2+CQ2=PQ2

 (72-p)2+(72-q)2=(p+q)2

 722-144p+p2+722-144q+q2=p2+2pq+q2

 2・722-144p-144q=2pq 、pq+72p+72q=722

 (p+72)(q+72)=2・722=27・34=10368 だから、

 p+72 は 27・34 の約数で、72<p+72≦101 になります。

 よって、(p+72,q+72)=(81,128),(96,108) 、(BP,DQ)=(p,q)=(9,56),(24,36) です。

☆ 三平方の定理を使わなければ、右図の5個の三角形の面積を考え、

 72p+72q+(72-p)(72-q)/2=722 、144p+144q+(72-p)(72-q)=2・722

 (p+72)(q+72)=2・722 になります。

 これを利用すれば三平方の定理の証明ができます。

 △PCQにおいて三平方の定理の証明

  正方形ABCDの1辺を (CP+CQ+PQ)/2 として、

  正方形ABCD=2△APQ+△PCQ だから、4・正方形ABCD=8△APQ+4△PCQ 、

  (CP+CQ+PQ)2=4・PQ・(CP+CQ+PQ)/2+2・CP・CQ 、

  (CP+CQ+PQ)2-2・PQ・(CP+CQ+PQ)-2・CP・CQ=0 、

  (CP+CQ+PQ)(CP+CQ-PQ)-2・CP・CQ=0 、

  (CP+CQ)2-PQ2-2・CP・CQ=0 、

  CP2+CQ2=PQ2 になります。

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Comments 12

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樹☆  
No title

おはようございます
もう水仙が咲いてるのですか?
季節がわからなくなりそうです。

ひとりしずか  
No title

白い花びらを精一杯広げて~(^.^)

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
此方では未だ見掛けて居ませんが今年はあちこちで水仙が咲きだしている様ですね!!
淡い匂いが漂って来そうです♪

ナイス♪

ニリンソウ  
No title

日本水仙もいろいろ、この辺でも今年は多く咲いてて
びっくりですよ。
正月には例年なら買うのに買わずに済みそう。
今日も晴れですか?
青空みないで正月迎えそうです。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは、右側の図の面積で立式しましたが…
因数分解はPCにお願いしたというハイブリッド解答で…^^;…Orz~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
まだ琉球朝顔が咲いていたり、紅葉が見られたり、
水仙が咲いていたりで、季節が分かりにくいですが、
とりあえず、明日は冬至です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
水仙の白い花弁が反り返っているようです。
健気に咲いていますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
外だとあまり感じませんが、水仙の香りはいいですね。
そちらでもそのうちに咲くのでしょう。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ニリンソウさんもこの前ブログにアップされていましたね。
ところで、今朝は雨でしたが、午後には止みました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
面積でも三平方の定理でも同じ式が出るということは、
三平方の定理をこの図で証明できるということですね。
上の解答に追加しておきました。

スモークマン  
No title


相加相乗☆
お見事♪
ピタゴラスの証明はいっぱいあるらしいけど…
新たな証明が一つ増えたかもしれませんねv^^v

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントをありがとうございます。
証明はたくさんあるそうですので、新たかどうか分かりませんが、
いろいろ考えられますね。