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[答957] 3個の二等辺三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答957] 3個の二等辺三角形


 図のように、高さの等しい二等辺三角形3個があり、底辺は 1914,264,200 です。

 また、最大の二等辺三角形の頂角は他の二等辺三角形の2つの頂角の和になっています。

 最大の二等辺三角形の面積を S,他の二等辺三角形の面積を T,U とすれば、S-T-U=?


[解答1]

 等しい高さを h 、問題図の左から 底辺を 2a,2b,2c 、頂角を 2α,2β,2γ とすれば、

 tanα=a/h,tanβ=b/h,tanγ=c/h になり、

 tanα=tan(β+γ)=(tanβ+tanγ)/(1-tanβtanγ) だから、

 tanα-tanαtanβtanγ=tanβ+tanγ 、tanα-tanβ-tanγ=tanαtanβtanγ 、

 a/h-b/h-c/h=abc/h3 、(a-b-c)h2=abc 、(a-b-c)2h2=abc(a-b-c) 、

 よって、S-T-U=ah-bh-ch=(a-b-c)h=√{abc(a-b-c)} です。

 本問では a=957,b=132,c=100 として、a-b-c=725、

 S-T-U=√(957・132・100・725)=√(957・100・95700)=95700 です。


[解答2]

 それぞれの二等辺三角形を2つの直角三角形に分け、並べ変えると S-T-U は緑の三角形の面積です。

 問題図の左から 底辺を 2a,2b,2c とすれば、緑の三角形の3辺の長さは、a-b,a-c,b+c です。

 (a-b+a-c+b+c)/2=a だから、ヘロンの公式により 面積は √{abc(a-b-c)} です。

 本問では a=957,b=132,c=100 として、a-b-c=725、

 S-T-U=√(957・132・100・725)=√(957・100・95700)=95700 です。


☆ a-b=825,a-c=857,b+c=232 で、

 8572-2322=(857+232)(857-232)=1089・625=(33・25)2=8252 に気づけば、

 面積は 825・232/2=95700 です。

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Comments 10

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樹☆  
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Merry Christmas

おはようございます
穏やかな朝です。紅葉のグラデーションすてきですね。。

すてきなクリスマスお過ごしください

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」気づけませんでした。
図形的な手法があるはずと思いながらも出来ず、さらに、リコメを拝見後、再考を重ねたのですが気づけず、今日を待ちました。

自分は、実数を用いた安直な「解答1」もどきでした。

ニリンソウ  
No title

その方は今紅葉が見れるのですね。
クリスマスカードありがとうございました。
いつもと変わらない日を何気なく過ごし
ヤドカリさんからのあったかなカードに嬉しい
クリスマスです。

ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
年末、クリスマスになっても紅葉が見られます。
モミジの赤・黄・緑の彩りがまだ見られます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントをありがとうございます。
もちろん、[解答2]が想定していた解答です。
思いつかなかったら、当然[解答1]ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ニリンソウさんにとっての「いつもと変わらない日」は、
山歩きから遠ざかっている私には特別な日の連続に見えます。
歩けることは素晴らしいことですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしも上手い方法が隠されているんだと挑むも…気付けず…^^;
[解答2]はAha☆でした ^^☆
tanとヘロンの公式で検索してみると…
α+β+γ=π/2のとき
1/tanα+1/tanβ+1/tanγ=1/(tanα*tanβ*tanγ)
の図形的な問題だったのかな…^^; Orz~

さっちゃんこ  
No title

今年も残り僅かだと言うのに未だ紅葉が見れますね
今年の此の暖かさはどうなっているのでしょうか

今日はクリスマス
素敵なクリスマスカードありがとうございました
独りさびしいイブでしたが綺麗なクリスマスカードに心もホンワリでした

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
何かあるなぁと思いながらの6日間でしたか。
ところで、公式は必要に応じて導いているといつの間にか覚えるものです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
今年の暖かさは異常ですね。
クリスマスと紅葉が同じ時期にあるのが不思議です。