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[答958] 垂線の足と辺の比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答958] 垂線の足と辺の比


 △ABCの 辺ABを 1:15 に内分する点を D,辺ACを 4:21 に内分する点を E とすれば、

 AB⊥CD,AC⊥BE になるとき、辺の長さの比 BC:CA:AB=?


[解答1]

 三平方の定理より、CD2=CA2-AD2=CB2-BD2

 BD2-AD2=BC2-CA2 、(BD+AD)(BD-AD)=BC2-CA2

 AB(BD-AD)=BC2-CA2 、また、AB(BD+AD)=AB2 だから、

 2AB・AD=AB2-BC2+CA2 ,2AB・BD=AB2+BC2-CA2

 AD:BD=(AB2-BC2+CA2):(AB2+BC2-CA2) 、

 ここで、BC2+CA2+AB2=2k とおけば、

 (k-BC2):(k-CA2)=AD:BD=1:15 になります。

 同様に、(k-BC2):(k-AB2)=AE:EC=4:21 になり、

 (k-BC2):(k-CA2):(k-AB2)=4:60:21 です。

 (k-BC2):(k-CA2):(k-AB2):(3k-BC2-CA2-AB2)=4:60:21:85 、

 (k-BC2):(k-CA2):(k-AB2):k=4:60:21:85 、

 BC2:CA2:AB2=(85-4):(85-60):(85-21)=81:25:64 、

 BC:CA:AB=9:5:8 です。


[解答2]

 △ABCの垂心をHとします。

 メネラウスの定理より、

 (BH/HE)(EC/CA)(AD/DB)=1 、HE/HB=(EC/CA)(AD/DB)=(21/25)(1/15)=7/125 、

 (CH/HD)(DB/BA)(AE/EC)=1 、HD/HC=(DB/BA)(AE/EC)=(15/16)(4/21)=5/28 、

 よって、HE=7s,HB=125s,HD=5t,HC=28t とおくことができます。

 D,EはBCを直径とする円周上にあるので、方べきの定理より、

 HE・HB=HD・HC 、7・125s2=5・28t2 、25s2=4t2

 5s=2t=10u とおけば、s=2u,t=5u 、HE=14u,HB=250u,HD=25u,HC=140u です。

 2△ABC=AB・CD=CA・BE だから、AB:CA=BE:CD=264u:165u=8:5 、

 AB=8k,CA=5k とすれば、AD=k/2,DB=15k/2 になり、

 CD2=BC2-BD2=CA2-AD2 より、

 BC2=BD2+CA2-AD2=225k2/4+25k2-k2/4=81k2

 BC:CA:AB=9k:5k:8k=9:5:8 です。


[解答3]

 AからBCにおろした垂線をAFとします。

 チェバの定理より、(BF/FC)(CE/EA)(AD/DB)=1 、CF/FB=(CE/EA)(AD/DB)=(21/4)(1/15)=7/20 、

 CF:FB=7:20 なので CF=7BC/27 、また、CE:EA=21:4 なので CE=21CA/25 です。

 E,FはABを直径とする円周上にあるので、方べきの定理より、

 CF・CB=CE・CA 、7BC2/27=21CA2/25 、BC2/81=CA2/25 、BC/9=CA/5 になります。

 次に、AE:EB=4:21 なので AE=4CA/25 、また、AD:DE=1:15 なので AD=AB/16 です。

 D,EはBCを直径とする円周上にあるので、方べきの定理より、

 AE・AC=AD・AB 、4CA2/25=AB2/16 、CA2/25=AB2/64 、CA/5=AB/8 になります。

 よって、BC/9=CA/5=AB/8 、すなわち、BC:CA:AB=9:5:8 です。


[解答4]

 AD:DB=1:15 より cotA:cotB=1:15 、AE:EC=4:21 より cotA:cotC=4:21 、

 よって、cotA:cotB:cotC=4:60:21 、cotA=4k,cotB=60k,cotC=21k とおきます。

 A+B+C=π のとき cotBcotC+cotCcotA+cotAcotB=1 だから、1584k2=1 です。

 (1+cot2A)sin2A=(1+cot2B)sin2B=(1+cot2C)sin2C=1 だから、

 (1584+1584cot2A)sin2A=(1584+1584cot2B)sin2B=(1584+1584cot2C)sin2C 、

 (1584+16)sin2A=(1584+3600)sin2B=(1584+441)sin2C 、

 1600sin2A=5184sin2B=2025sin2C 、40sinA=72sinB=45sinC 、

 (sinA)/9=(sinB)/5=(sinC)/8 、sinA:sinB:sinC=9:5:8 、BC:CA:AB=9:5:8 です。


[解答5]

 太字はベクトルを表すものとします。

 DCACADACAB/16 ,EBABAEAB-4AC/25 、

 AB⊥DC より ABDCAB・(ACAB/16)=0 だから |AB|2=16ABAC

 AC⊥EB より ACEBAC・(AB-4AC/25)=0 だから |AC|2=25ABAC/4 、

 |BC|2=|ACAB|2=|AC|2-2ABAC+|AB|2=25ABAC/4-2ABAC+16ABAC=81ABAC/4 、

 よって、|BC|2:|CA|2:|AB|2=81/4:25/4:16=81:25:64 、

 BC:CA:AB=|BC|:|CA|:|AB|=9:5:8 です。


[解答6] ???さんのコメントより

 AD:DB=1:15 なので,AD=m,DB=15m (m>0) とする.

 AE:EC=4:21 なので,AE=4n,EC=21n (n>0) とする.

 AB=AD+DB=m+15m=16m,AC=AE+EC=4n+21n=25n である.

 △ADCと△ABEにおいて,cosA=AD/AC=AE/AB

 ∴ cosA=m/(25n)=(4n)/(16m) ,4m2=25n2

 m>0,n>0 から,n=2m/5 ,AC=25n=10m ,cosA=m/(25n)=m/(10m)=1/10

 △ABCにおいて,余弦定理より,

 BC2=AB2+AC2-2AB・ACcosA=(16m)2+(10m)2-2・16m・10m・1/10=324m2

 BC>0,m>0 なので,BC=18m

 ∴ BC:CA:AB=18m:10m:16m=9:5:8(∵ m≠0)

.

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Comments 20

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???  
No title

AD:DB=1:15なので,AD=m,DB=15m(m>0)とする.
AE:EC=4:21なので,AE=4n,EC=21n(n>0)とする.
c=AB=AD+DB=m+15m=16m,b=AC=AE+EC=4n+21n=25nである.
△ADCと△ABEにおいて,cosA=AD/AC=AE/AB
∴cosA=m/(25n)=(4n)/(16m)
∴4m^2=25n^2
m>0,n>0から,n=(2m)/5
b=25n=10mであり,cosA=m/(10m)=1/10
△ABCにおいて,余弦定理より,
cosA={(10m)^2+(16m)^2-a^2}/(2・10m・16m)=1/10
∴100m^2+25 6m^2-a^2=32m^2
∴a^2=324m^2
a>0,m>0なので,a=18m
∴BC:CA:AB=18m:10m:16m=9:5:8(∵m≠0)

角Aが無傷なので、これが自然かと。

ひとりしずか  
No title

玉子を思わせる実・・

ゆうこ つれづれ日記  
No title

メロンのような蕪のような・・・・
美味しそうです。

来年もよろしくお塩害いたします。
素敵な新年を迎えてください。
ポチ☆

ニリンソウ  
No title

う~~ん!?
葉を見るとナス科、ツノナスの実かな
今頃だと黄色くなってるし(フォックスフェイス)ね
植物園でしょうかいろんな植物がありますね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
コメントの「卵のような此の実は茄子科の植物」の通り、名前はタマゴナスです。
都市緑化センターの室内で見たもので、本来の季節は分かりません。
明日は黄色のをアップする予定です。

ヤドカリ  
No title

???さん、コメントと解法をありがとうございます。
解答が自然かどうかは人により違いがあると思いますが、私は、
[解答1]は三平方の定理を使った中学の内容の解き方、
[解答2]はメネラウスの定理と方べきの定理を使った解き方、
[解答3]はチェバの定理と方べきの定理を使った解き方、
[解答4]は三角関数の加法定理を使った解き方、
[解答5]はベクトルを使った解き方、
で、それなりに意味はあると思います。
余弦定理による解き方は、当然考えられるものですが、
この解き方の解答を書いていませんでしたので、
貴殿の解答とほぼ同じ解き方を追加しました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
本当に卵のような実ですね。
タマゴナスという名前は誰でも思いつくものだと思います。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらこそ、来年もよろしくお願いします。
無理しないように続けていきたいと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
フォックスフェイスと違ってツノはなく、ずばりタマゴナスです。
少し前に撮ったものですが、最近、黄色のも見ましたので、
明日にでもアップする予定です。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしは…[解答1]+[解答6]でしたわ ^^;v
ベクトルの解法が楽そうで好きです☆
すべての辺が、AB,ACの2つのベクトルで表せるから比が求まるわけですね…ってことは…垂直でなくってもいけますね ^^
熟読玩味ぃ♪ Orz~

たけちゃん  
No title

私は当然[解答4](ただし,tanで表現)でした.
『当然』と言ったのは,この問題が,個人的に思い出の問題とも言えるからで,
はじめて私の解答を取り上げていただいた[475]と,出だしは同趣旨の問題です.

そのとき提示した tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
(cotBcotC+cotCcotA+cotAcotB=1の方が,直角三角形にも適用できる点で
優れているかもしれませんが)
も,ある程度は市民権を得たのかな,という感じです.

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ベクトルの問題としては基本問題です。
垂直の条件で、大きさを内積で表したのが上の解法です。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントをありがとうございます。
[475]のことはすっかり忘れておりました。
同じ様な問題は避けているつもりですが、
1000題近くなると似た問題になることもあります。
出題者が忘れていた問題を覚えておられることに驚いています。
さて、tan でなく cot を使ったのは、最初から2次式になるからで、
そのときの気分です。

uch*n*an  
No title

うーむ,確かに何が自然かは人によりそうです。
この問題はいくつもの方法で解けるので,それぞれの分野でのよい練習問題だと思います。
私としては,可能なら算数で,それが無理なら中学数学で,それが無理なら高校数学で,...,
というポリシーなので,こんな解法も考えていました。
ただし,垂心が算数で認められるかは微妙で,多分無理なんでしょうね。
それと比の計算のところは算数としては厳しそうなので,中学数学になってしまうかな。

uch*n*an  
No title

二つの図を重ね,CD と BE の交点を H とします。
H は △ABC の垂心なので,AH の延長と BC との交点を F とすると,AF⊥BC,です。
BF:CF = △ABH:△ACH = (△BAH/△BCH):(△CAH/△CBH) = (AE/CE):(AD/BD) = (4/21):(1/15) = 20:7,
△ACD ∽ △ABE,AC:AB = AD:AE = (AB * 1/16):(AC * 4/25),CA^2:AB^2 = 25:64,
△CBE ∽ △CAF,CB:CA = CE:CF = (CA * 21/25):(CB * 7/27),BC^2:CA^2 = 81:25,
そこで,BC^2:CA^2:AB^2 = 81:25:64,BC:CA:AB = 9:5:8,になります。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
より基本的な事項を優先すれば、[解答3]は貴殿のような解答になりますね。
面積によるチェバの定理や相似による方べきの定理の証明が根底にあると、
そちらの方が自然かも知れません。
この辺は仰るように、何が自然かは人によりそうです。
以前、中学入試対策の本で、名前はキツネをイメージして書かれていましたが、
メネラウスの定理を見たことがあり、
「可能なら算数で,それが無理なら中学数学で,……」も、
どの内容を算数として認めるかで迷います。
前にも書きましたが、辺が与えられた三角形で、3:4:5 の三角形だけを
算数の範囲で直角三角形と結論できることに違和感があります。

スモークマン  
No title


そっか!!
uch*n*anさんの解法おいしそうね☆
これ算数じゃないか知らん☆
お気に入り♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
面積によるチェバの定理や相似による方べきの定理の証明は算数で分かるものですが、
それを算数と言っていいのかどうかは微妙です。
もちろん、お気に入り♪かどうかは人それぞれです。

樹☆  
No title

こんばんは
タマゴザスというのですか?
ほんとにたまごみたいですね^^
ゆでたまご みたいにツルツルです♪

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
名前の通り、卵のような茄子です。
仰るように、ゆでたまごのようにも見えます。