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[答959] 長方形の辺に頂点をもつ四角形

ヤドカリ

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[答959] 長方形の辺に頂点をもつ四角形


 各辺が長さ1ずつに区切られている、辺の長さが自然数で、縦が横より長い長方形があり、

 図のように、長方形の頂点以外の各辺の区切りから1つずつ選んで線分で繋ぎ、四角形を作ります。

 もとの長方形の面積の 1/2 の面積をもつ四角形の総数が 75952個であるとき、

 もとの長方形の縦横の長さは?


[解答]

 長方形の縦の辺の区切りをm個,横の辺の区切りをn個とします。

 図のように、できた四角形の面積がもとの長方形の面積の 1/2 になるのは、

 できた四角形の対角線の少なくとも一方が長方形の辺と平行なときです。

 横の辺と平行なとき mn2 個,縦の辺と平行なとき nm2 個,両方が平行なとき mn 個なので、

 総数は mn2+nm2-mn=mn(m+n-1) 個です。

 よって、mn(m+n-1)=75952=24・47・101 になります。

 m,n,m+n-1 のうち、最小のものは n ですが、n=1 のとき m2=24・47・101 で不適、

 よって、1<n<m<m+n-1 です。

 ここで、mn-(m+n-1)=(m-1)(n-1)>0 なので、m+n-1<mm 、

 (m+n-1)2<mm(m+n-1)=75952 、m+n-1<300 、1<n<m<m+n-1<300 です。

 また、m+n+(m+n-1)=2(m+n)-1 ですので、m,n,m+n-1 の和は奇数で積は偶数だから、

 このうち1つが奇数で他の2つは偶数です。

 75952 の約数のうち 1より大きく 300より小さい奇数は 47,101 ですので、

 47,101 のどちらかを含み 他の2つが偶数で 積が75952 になる 300より小さい 3数は、

 小さい順に並べると、(8,47,202),(4,101,188),(8,94,101) であり、

 (n,m,m+n-1) に適するのは、(n,m,m+n-1)=(8,94,101) だけです。

 よって、長方形の 縦は m+1=95 ,横は n+1=9 です。


☆ できた四角形の面積がもとの長方形の面積の 1/2 になるのは、

 その対角線の少なくとも一方が長方形の辺と平行であることは図から明らかですが、

 数式を利用すれば、

 長方形の頂点をA,B,C,Dとし、辺AB,BC,CD,DA上のできた四角形の頂点をP,Q,R,Sとして、

 AP・AS/2+BP・BQ/2+CQ・CR/2+DR・DS/2=AB・AD/2 、AP・AS+BP・BQ+CQ・CR+DR・DS=AB・AD 、

 AP・AS+(AB-AP)・BQ+(BC-BQ)・(CD-DR)+DR・(AD-AS)=AB・AD 、

 AP・AS+(AB-AP)・BQ+(AD-BQ)・(AB-DR)+DR・(AD-AS)=AB・AD 、

 AP・AS+AB・BQ-AP・BQ+AD・AB-AD・DR-BQ・AB+BQ・DR+DR・AD-DR・AS=AB・AD 、

 AP・AS-AP・BQ+BQ・DR-DR・AS=0 、AP・(AS-BQ)-DR・(AS-BQ)=0 、(AP-DR)・(AS-BQ)=0 、

 AP=DR または AS=BQ になります。

.

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Comments 10

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ひとりしずか  
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お正月風景…橋の赤い欄干に新春を~

樹☆  
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おはようございます。
住吉大社の太鼓橋ですね。
ヒールの高い靴は渡るには大変です。

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
一番右側のケースは頭になかったりしましたが…^^;
真ん中にできる□の面積を求める問題はよくありますよね ^^
これが0のとき=縦 or 横が1本のときちょうど1/2
式の計算は...バットを振ったら当たったって感じだったと Orz~v

さっちゃんこ  
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こんにちは♪
住吉大社の太鼓橋 カーブがきつくて渡るのも♪大変そうですね

ナイス♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
いつ見ても赤い欄干の橋なのですが、
お正月に見るとその赤が新春を感じさせますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、住吉大社の太鼓橋です。
横からの画像が多いので、斜め下から撮ってみました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
面積が半分になるのは、大体わかると思いますが、
他にあり得ないことを確信するのは論理的な考えが必要ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
カーブがきついことより、人の多さで中々渡れません。
警備員が誘導していました。

ニリンソウ  
No title

通年この橋を渡れるんですか!
弥彦神社の太鼓橋は「神橋」で神様だけが
渡る橋となっています。
まだ初詣行ってない

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
この太鼓橋はいつでも渡ることができます。
朝ドラの「まっさん」で一度だけ見ましたが、絵になる橋だと思います。