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[答960] 正八面体の切断

ヤドカリ

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[答960] 正八面体の切断


 正八面体には4組の平行な面があります。

 図のように、正八面体の辺を4等分するように、平行な面4組に平行な 12平面で切断すると、

 もとの正八面体の1辺の 1/4 の長さの辺をもつ 正四面体 80個と 正八面体 44個に分かれます。

 では、同じように正八面体の辺を9等分するように、平行な面4組に平行な 32平面で切断すると、

 もとの正八面体の1辺の 1/9 の長さの辺をもつ 正四面体は何個? また、正八面体は何個?


[解答1]

 正八面体の切断はは複雑ですので、正四面体の切断を考えます。

 1辺の長さが n の正四面体を、辺が n 等分されるように、面に平行な平面で切断します。

 切断面は1辺が k (k=1,2,……,n-1) の正三角形で、

 右下図のように1辺が1の正三角形 k2 個で構成され、

 そのうち、△は 1+2+……+k=k(k+1)/2 個,▽は 1+2+……+(k-1)=(k-1)k/2 個です。

 上から k 段目のは 上面が1辺が k-1 ,下面が1辺が k の正三角形である正三角錐台で、

 下面に上面を重ねると、下面の▽の上は上面の△で 正八面体になり、

 下面の△の上は上面の三角形の頂点,上面の▽の下は下面の△で 正四面体になります。

 従って、

 正四面体の個数は k(k+1)/2+(k-2)(k-1)/2=k2-k+1 を、

  k=1,2,……,n として加えて、n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2+n=n(n2+2)/3 、

 正八面体の個数は (k-1)k/2=-(k-2)(k-1)k/6+(k-1)k(k+1)/6 を、

  k=1,2,……,n として加えて、(n-1)n(n+1)/6 です。

 1辺が n の正八面体であれば、1辺が 2n の正四面体から 1辺が n の正四面体を4個を除けば良いので、

 正四面体の個数は 2n(4n2+2)/3-4n(n2+2)/3=4(n-1)n(n+1)/3 で、

 正八面体の個数は (2n-1)・2n(2n+1)/6-4(n-1)n(n+1)/6=n(2n2+1)/3 です。

 本問は n=9 の場合で、正四面体は 4・8・9・10/3=960 個,正八面体は 9(2・92+1)/3=489 個です。


[解答2]

 1辺の長さが n の正八面体を、辺が n 等分されるように、面に平行な平面で切断します。

 このときにできる 1辺が 1 の 正四面体の個数を x ,正八面体の個数を y とします。

 また、1辺の長さが 1 の正三角形の面積を S ,正四面体の体積を V とします。

 正八面体の1つの面に近い方から k 番目の切断面の面積は、

 {(n+k)2-3k2}S=(n2+2nk-2k2)S だから、

 その面に平行な切断面の面積の総和は、k=1,2,……,n-1 として加えて、

 {n2(n-1)+n2(n-1)-(n-1)n(2n-1)/3}S=n(n-1)(4n+1)S/3 、

 従って、切断面の面積の総和は 4n(n-1)(4n+1)S/3 です。

 切断されてできた1辺が 1 の 正四面体,正八面体の表面積の総和は、

  4Sx+8Sy=2・4n(n-1)(4n+1)S/3+8n2S 、x+2y=2n(n-1)(4n+1)/3+2n2=2n(4n2-1)/3 、

 切断されてできた1辺が 1 の 正四面体,正八面体の体積の総和は、

  Vx+4Vy=4n3V 、x+4y=4n3 です。

 x+2y=2n(4n2-1)/3 ,x+4y=4n3 を連立して、x=4(n-1)n(n+1)/3 ,y=n(2n2+1)/3 になります。

 本問は n=9 の場合で、x=4・8・9・10/3=960 ,y=9(2・92+1)/3=489 です。


[解答3]

 1辺の長さが n の正八面体を、辺が n 等分されるように、面に平行な平面で切断します。

 もとの正八面体の面は n2 個の正三角形に分割されますが、もとの面と、

 同方向の△は分割された正八面体の面、逆方向の▽は分割された正四面体の面で、

 ▽は 1+2+……+(n-1)=(n-1)n/2 個です。

 もとの正八面体の中心と1つの面の3頂点を頂点とする四面体で考えると、

 分割された正四面体の個数は (k-1)k/2 を k=1,2,……,n-1 として加えれば求まります。

 (k-1)k/2=-(k-2)(k-1)k/6+(k-1)k(k+1)/6 だから、その和は (n-1)n(n+1)/6 、

 全体ではその8倍で、4(n-1)n(n+1)/3 個です。

 切断してできる小さい四面体は小さい八面体の体積の 1/4 だから,

 八面体の個数は n3-4(n-1)n(n+1)/3/4=n(2n2+1)/3 です。

 本問は n=9 の場合で、正四面体は 4・8・9・10/3=960 個,正八面体は 9(2・92+1)/3=489 個です。


[解答4] たけちゃんさんの解答より (立体角と八面体数を使って [891]参照)

 1辺の長さが n の正八面体を、辺が n 等分されるように、面に平行な平面で切断します。

 「頂点」は切断してできる小さい四面体・八面体の頂点になる元の八面体の点をいう.

 立体角の考察から,以下を得る.

 ・ 元の6頂点は,八面体1つの頂点である.

 ・ 元の12辺の途中の頂点は四面体2つと八面体2つに共有される.(左下図 左)

 ・ 元の8面の内部の頂点は四面体4つと八面体3つに共有される.(左下図 右)

 ・ 元の八面体の内部の頂点は四面体8つと八面体6つに共有される.(面の2倍)

 辺をn等分して分割するとき,

 元の頂点の個数は 6 ,辺の途中の頂点の個数は 12(n-1) ,

 元の8面の内部の頂点の個数は 8{1+2+……+(n-2)}=4(n-2)(n-1)個 ,

 元の八面体の内部の頂点の個数は 2{12+22+……+(n-2)2}+(n-1)2=(n-1)(2n2-4n+3)/3 ,

 よって,求める個数は,

 四面体の個数は{2・12(n-1)+4・4(n-2)(n-1)+8(n-1)(2n2-4n+3)/3}/4=4(n-1)n(n+1)/3 ,

 八面体の個数は{6+2・12(n-1)+3・4(n-2)(n-1)+6(n-1)(2n2-4n+3)/3}/6=n(2n2+1)/3 .

 本問は n=9 の場合で、正四面体は 4・8・9・10/3=960 個,正八面体は 9(2・92+1)/3=489 個です。


[解答5] たけちゃんさんの解答より (四角錐を利用)

 1辺の長さが n の正八面体を、辺が n 等分されるように、面に平行な平面で切断します。

 1つの対称面と平行で各辺のn等分点を通る平面でさらに切断すると,

 各正方形は,一辺1の正方形に分割され,その個数は

 2{12+22+32+…+(n-1)2}+n2=n(2n2+1)/3.

 これがそのまま正八面体の個数である.

 切断してできる小さい四面体は小さい八面体の体積の 1/4 だから,

 四面体の個数 4{n3-n(2n2+1)/3}=4(n-1)n(n+1)/3を得る.

 本問は n=9 の場合で、正四面体は 4・8・9・10/3=960 個,正八面体は 9(2・92+1)/3=489 個です。

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Comments 18

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ひとりしずか  
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赤い実が房なり~happyな気分になりました

アキチャン  
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おはようございます。
万両、おうちのですか?たわわに赤い実、お正月ですね(o^-^o)

ニリンソウ  
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豊作ですね~おめでたい!
今日も小雨です。

ゆうこ つれづれ日記  
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千両とか万両とか言う
お正月に飾るめでたい木なのでしょう。
赤い実が可愛いです。
野鳥が寄ってこないのかな~~
ナイス☆

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
万両はめでたいですね。
名前通りだと、豊かな生活になりますね。

ヤドカリ  
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アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
残念ながら、我が家にはこんなのはありません。
都市緑化センターで撮ったものです。

ヤドカリ  
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ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
おめでたい万両に出会って撮りました。
右下の千両がもっと立派だったらいいのになぁと思いました。

ヤドカリ  
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ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
万両ははじめは他の実と違って野鳥にとって不味いそうです。
種を鳥に運ばせたい時期に美味しくなるそうです。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
頭ん中がこんがらがって...わたしにゃ無理と諦めました…^^;
[解答5]がわかりやすいです☆ なるほどなぁ♪
正四面体のときは...同じように考えるわけには行かないのですよねぇ…^^;…Orz~

さっちゃんこ  
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こんばんは
万両の実が見事に付いていのすね
縁起物の豊作 今年も幸先が良さそうですネ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
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スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
立体はイメージしにくいかも知れませんが、
様々な解き方があると認識を新たにしました。

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
縁起物ですので、新年にアップしようと年末に撮りました。
何万両もあればいいですね。

uch*n*an  
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この問題は,時間が取れず解答としてまとめたのは頭を使わない[解答2]だけでしたが,
[解答1]でも解いていました。また,小さな正八面体を直接に数える方法でも解いていました。
これは出だしが[解答3]と似ていますが,8等分はせずにそのまま数えました。
個人的にちょっと気になるのですが,[解答3]の8等分は元の切断面をさらに切断しないのでしょうか。
もっともそうなっても対称性より全体としては問題なくうまくいきますが。
これで満足してしまいそれ以上は考えなかったのですが,[解答4]と[解答5]は面白いですね。
[解答4]は共有数をキチンと数えないといけませんが発想が面白いです。
[解答5]は正八面体の特徴を実にうまく掴んだ解法でお見事です。参ったな。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
[解答3]のように8等分すると、切断するのは正八面体だけです。
正八面体をこの方法で数えると面倒ですので、正四面体を数えました。
これと[解答5]で別々に数えられますね。
8等分すると、切断するのは正八面体だけだと分かりながら、
[解答5]に気づかなかったのは痛恨です。

樹☆  
No title

わぁ~鮮やかな色ですね。
これだけでおめでたいし、嬉しい気持ちになれます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
鮮やかな赤色の沢山の実がめでたさを醸し出しています。
いい万両を見つけました。

uch*n*an  
No title

なるほど。[解答5]と合わせて考えれば分かりやすくかつ明らかですね。
しかしそこまで気付きながら[解答5]に至らなかったのは確かに悔しいでしょう。
私はそんなことがよくあるのでお気持ちよく分かります。

ヤドカリ  
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uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
仰る通りです。