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[答961] 2つの正方形の頂点の中点

ヤドカリ

ヤドカリ



[答961] 2つの正方形の頂点の中点


 同一平面上に 頂点Aを共有する 1辺が 44 の 正方形ABCD と 1辺が 18 の 正方形AEFG を、

 A,B,C,D と A,E,F,G が反時計回りに並ぶように描き、CF の 中点を M とするとき、

 △MGBの 面積の最大値は? また、最小値は?


[解答]

 座標平面上で、A(0,0),B(p,0),C(p,p),D(0,p),G(q,r),E(r,-q),F(q+r,-q+r) とすれば、

 M(p/2+q/2+r/2,p/2-q/2+r/2) になり、

 △MGB=|r(p/2+q/2+r/2-p)-(q-p)(p/2-q/2+r/2)|/2

  =|r(-p+q+r)+(p-q)(p-q+r)|/4=|r(-p+q)+r2+(p-q)2+(p-q)r|/4

  ={(p-q)2+r2}/4=BG2/4=(BG/2)2

 ここで、|MB-MG|≦BG≦MB+MG だから、|44-18|≦BG≦44+18 、13≦BG/2≦31 、

 132≦(BG/2)2≦312 、169≦△MGB≦961 です。

 よって、最大値は 961 ,最小値は 169 です。

☆ 本問では p=44,∠BAG=θ とすれば q=18cosθ,r=18sinθ になり、

 △MGB={(p-q)2+r2}/4={(44-18cosθ)2+182sin2θ}/4

  =(22-9cosθ)2+92sin2θ=565-396cosθ

 △MGBが最大となるのは θ=180゚ のときで B,A,Gがこの順に一直線上、

 △MGBが最小となるのは θ=0゚ のときで B,A,Gがこの順に一直線上です。

 最大値は 565+396=961 ,最小値は 565-396=169 です。


[解答2]

 複素平面上で、A(0),B(2z),E(2w) とすれば、

 C(2(1+i)z),F(2(1+i)w),G(2iw),M((1+i)(z+w)) となって、

 有向線分MGを表す複素数は、2iw-(1+i)(z+w)=(-1-i)z+(-1+i)w 、

 有向線分MBを表す複素数は、2z-(1+i)(z+w)=(1-i)z+(-1-i)w=i{(-1-i)z+(-1+i)w}、

 よって、MB=MG ,∠BMG=90゚ となって、△MGBは BGを斜辺とする直角二等辺三角形ですので、

 △MGB=(BG/2)2 になります。

 ここで、|MB-MG|≦BG≦MB+MG だから、|44-18|≦BG≦44+18 、13≦BG/2≦31 、

 132≦(BG/2)2≦312 、169≦△MGB≦961 です。

 よって、最大値は 961 ,最小値は 169 です。


[解答3]

 Mに関してBと対称な点をHとします。

 Mに関してCと対称な点はFだから、FH//CB⊥AB ,FH=CB=AB 、

 また、FG⊥AG ,FG=AG だから、

 △HFG は △BAG を Gを中心に 90゚回転したものになり、

 △HGB は GB=GH の直角二等辺三角形になります。

 よって、△MGB=△HGB/2=(BG/2)2 になります。

 ここで、|MB-MG|≦BG≦MB+MG だから、|44-18|≦BG≦44+18 、13≦BG/2≦31 、

 132≦(BG/2)2≦312 、169≦△MGB≦961 です。

 よって、最大値は 961 ,最小値は 169 です。

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Comments 14

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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千両…紅白つやつやですネ

樹☆  
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おはようございます
色といい艶といい
見事ですね~
あっやどかりさんのカメラ力を
褒めるべきでした。

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
わたしのいい加減なアナロジーでもよかったのは...正方形同士のときは上のような背景があったからなのねぇ ^^;…Orz~

平方して逆順になる数は...各桁が異なるものとしては…12,13,102,103とその逆順の数だけかな…?

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
真っ赤な艶やかな千両の実が綺麗ですね

お正月の縁起物ですね

ナイス♪

アキチャン  
No title

おはようございます。
千両きれいですね(o^-^o)

こっこちゃん  
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おはようございます

南天のみ 紅白で鮮やかですネ ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
千両は万両より艶が目立ちますね。
実のつきかたに因るものでしょうか?

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
被写体が良かったからこんな写真になりました。
ただ、ピントを合わせるのが難しいです。
遠くから撮ればピントが合いますが実が小さくなってしまいます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この番号ならこの答になるように作問するのが当然でしょう。
ラマヌジャンならもっといろいろ考えられると思いますが。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
縁起物ももう使えなくなりますので慌ててアップしました。
かと言って、花の少ない時期、写真捜しに困る時期です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
千両や万両はめでたさがありますが、南天の実も綺麗と思います。
言霊はあるなぁと思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
南天も紅白があって、綺麗ですね。
私は、千両は赤と黄色、万両は赤と白しか見た記憶がありません。

ニリンソウ  
No title

赤い粒粒が美味しそうに見えます。
いくらご飯・・・ゴメンなさい。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
私は千両としか見ませんでしたので、
いくらご飯は発想にありませんでした。
今後は思い出しそうです。